Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的單調(diào)函數(shù)滿足f（-3）=2，，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)a∈R有f（-a）+f（a）=0恒成立．
（Ⅰ）試判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并說明理由；
（Ⅱ）解關(guān)于x的不等式f(

2-x

x

)＜2．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，不難得到f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，再根據(jù)已知條件函數(shù)是單調(diào)函數(shù)且f（-3）＞f（0），可得函數(shù)是R上的減函數(shù)．
（II）原不等式可化為：f(

2-x

x

)＜f(-3)，再由（I）的單調(diào)性可得

2-x

x

＞-3，最后根據(jù)分式不等式的解法即可得到原不等式的解集．

解答：解：（Ⅰ）結(jié)論：f（x）是R上的減函數(shù)．理由如下
∵對(duì)任意的實(shí)數(shù)a∈R有f（-a）+f（a）=0
∴f（-a）=-f（a）對(duì)任意的實(shí)數(shù)a∈R成立，可得函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
取x=0，得f（0）=0
∵f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)，f（-3）=2＞0=f（0）
∴f（x）為R上的減函數(shù)．
（Ⅱ）由f（-3）=2，不等式f(

2-x

x

)＜2等價(jià)于f(

2-x

x

)＜f(-3)
又∵f（x）為R上的減函數(shù)，∴原不等式可化為：

2-x

x

＞-3
整理得：

2x+2

x

＞0，解之得：x＜-1或x＞0
∴不等式f(

2-x

x

)＜2的解集為（-∞，-1）∪（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題給出抽象函數(shù)為奇函數(shù)且在E上為減函數(shù)，求關(guān)于x的不等式的解集，著重考查了函數(shù)單調(diào)性的奇偶性等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．