Question

已知，，
（1）若對(duì)內(nèi)的一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，求最大的正整數(shù)，使得對(duì)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）內(nèi)的任意個(gè)實(shí)數(shù)都有成立；
（3）求證：．

Answer 1

（1）． （2）的最大值為．
（3）證明（法一）：先得到時(shí)，，即．
令，得，   
化簡(jiǎn)得，
．
（法二）數(shù)學(xué)歸納法：

試題分析：（1）由得，
，要使不等式恒成立，必須恒成立．   
設(shè)，，
，當(dāng)時(shí)，，則是增函數(shù)，
，是增函數(shù)，，．
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．                     5分
（2）當(dāng)時(shí)，，
，在上是增函數(shù)，在上的最大值為．
要對(duì)內(nèi)的任意個(gè)實(shí)數(shù)都有
成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，
當(dāng)時(shí)不等式左邊取得最大值，時(shí)不等式右邊取得最小值．
，解得．
因此，的最大值為．                              9分
（3）證明（法一）：當(dāng)時(shí)，根據(jù)（1）的推導(dǎo)有，時(shí)，，
即．                            10分
令，得，   
化簡(jiǎn)得，                  13分
．          14分
（法二）數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊=，
根據(jù)（1）的推導(dǎo)有，時(shí)，，即．
令，得，即． 因此，時(shí)不等式成立．        10分
（另解：，，，即．）
假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即，
則當(dāng)時(shí),
，
要證時(shí)命題成立，即證，
即證． 在不等式中，令，得           
．  時(shí)命題也成立．     13分
根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，可得不等式對(duì)一切成立．   14分
點(diǎn)評(píng)：難題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問(wèn)題，像涉及恒成立問(wèn)題，往往通過(guò)研究函數(shù)的最值達(dá)到解題目的。證明不等式問(wèn)題，往往通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，研究其單調(diào)性及最值，而達(dá)到目的。本題（II）解法較多，涉及復(fù)雜式子變形，學(xué)生往往失去耐心而失分。