Question

已知拋物線C₁：y²=4x的焦點與橢圓C₂：的右焦點F₂重合，F(xiàn)₁是橢圓的左焦點；
（Ⅰ）在△ABC中，若A(-4，0)，B(0，-3)，點C在拋物線y²=4x上運動，求△ABC重心G的軌跡方程；
（Ⅱ）若P是拋物線C₁與橢圓C₂的一個公共點，且∠PF₁F₂=，∠PF₂F₁=，求cos·cos的值及△PF₁F₂的面積。

Answer 1

解：（Ⅰ）設點C（x′，y′），重心G（x，y），
則，
整理，得，
將(*)式代入y²=4x中，得(y+1)²=，
∴重心G的軌跡方程為。
（Ⅱ）∵橢圓與拋物線有共同的焦點，由y²=4x，得F₂(1，0)，
∴b²=8，橢圓方程為，
設P(x₁，y₁)，由得，
∴x₁=，x₂=-6（舍），
∵x=-1是y²=4x的準線，即拋物線的準線過橢圓的另一個焦點F₁。
設點P到拋物線y²=4x的準線的距離為PN，則|PF²|=|PN|，
又|PN|=x₁+1=，
∴，
過點P作PP₁⊥x軸，垂足為P₁，
在Rt△PP₁F₁中，cosα=，
在Rt△PP₁F₂中，cos(л-β)=，cosβ=，∴cosαcosβ=。
∵x₁=，
∴|PP₁|=，
∴。