已知拋物線C1:y2=4mx(m>0)的焦點(diǎn)為F2,其準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)F1,以F1,F(xiàn)2為焦點(diǎn),離心率為
12
的橢圓C2與拋物線C1在x軸上方的一個(gè)交點(diǎn)為P.
(1)當(dāng)m=1時(shí),求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其右準(zhǔn)線的方程;
(2)用m表示P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)是否存在實(shí)數(shù)m,使得△PF1F2的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù),若存在,求出這樣的實(shí)數(shù)m;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)當(dāng)m=1時(shí),拋物線C1方程可知,所以,橢圓C2中c與a值可求,進(jìn)而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其右準(zhǔn)線的方程.
(2)P點(diǎn)為拋物線與橢圓在第一象限的焦點(diǎn),所以只要根據(jù)拋物線方程求出橢圓方程,再聯(lián)立,即可得出P點(diǎn)坐標(biāo).
(3)先假設(shè)存在實(shí)數(shù)m,使得△PF1F2的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù),由前一問(wèn)可分別求出△PF1F2的三邊長(zhǎng),讓三邊成公差為1得等差數(shù)列,求m的值,若能求出,則存在,若不能求出,則不存在.
解答:解(1)∵c1:y2=4mx的右焦點(diǎn)F2(m,0)∴橢圓的半焦距c=m,
e=
1
2
,∴橢圓的長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)a=2m,短半軸的長(zhǎng)b=
3
m

橢圓方程為
x2
4m2
+
y2
3m2
=1
當(dāng)m=1時(shí),故橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1
,右準(zhǔn)線方程為:x=4
(2)由
y2=4mx
x2
4m2
+
y2
3m2
=1
,解得:P(
2
3
m,
2
6
3
m)

(3)假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)m,由(Ⅱ)知P(
2
3
m,
2
6
3
m)

|PF2|=
2
3
m+m=
5
3
m
,|PF1|=4m-|PF2|=
7
3
m
,又|F1F2|=2m=
6
3
m

即△PF1F2的邊長(zhǎng)分別是
5
3
m
、
6
3
m
、
7
3
m

6m
3
-
5m
3
=
7m
3
-
6m
3
=1
∴m=3,
故存在實(shí)數(shù)m使△PF1F2的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù).
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的幾何性質(zhì),以及是否存在問(wèn)題,做題時(shí)找準(zhǔn)橢圓與拋物線的關(guān)系,認(rèn)真解答.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線C1:y2=x+7,圓C2:x2+y2=5.
(1)求證拋物線與圓沒(méi)有公共點(diǎn);
(2)過(guò)點(diǎn)P(a,0)作與x軸不垂直的直線l交C1,C2依次為A、B、C、D,若|AB|=|CD|,求實(shí)數(shù)a的變化范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•河北模擬)已知拋物線C1:y2=2px和圓C2(x-
p
2
)
2
+y2=
p2
4
,其中p>0,直線l經(jīng)過(guò)C1的焦點(diǎn),依次交C1,C2于A,B,C,D四點(diǎn),則
AB
CD
的值為
p2
4
p2
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線C1:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F以及橢圓C2
y2
a2
+
y2
b2
=1,(a>b>0)
的上、下焦點(diǎn)及左、右頂點(diǎn)均在圓O:x2+y2=1上.
(Ⅰ)求拋物線C1和橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線C1于A、B兩不同點(diǎn),交y軸于點(diǎn)N,已知
NA
=λ1
AF
, 
NB
 =λ2
BF
,求證:λ12為定值.
(Ⅲ)直線l交橢圓C2于P、Q兩不同點(diǎn),P、Q在x軸的射影分別為P'、Q',
OP
OQ
+
OP′
OQ′
 +1=0
,若點(diǎn)S滿足:
OS
OP
 +
OQ
,證明:點(diǎn)S在橢圓C2上.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知拋物線C1:y2=4x,圓C2:(x-1)2+y2=1,過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線l交C1于A,D兩點(diǎn)(點(diǎn)A在x軸上方),直線l交C2于B,C兩點(diǎn)(點(diǎn)B在x軸上方).
(Ⅰ)求|AB|•|CD|的值;
(Ⅱ)設(shè)直線OA、OB、OC、OD的斜率分別為m、n、p、q,且滿足m+n+p+q=3
2
,并且|AB|,|BC|,|CD|成等差數(shù)列,求出所有滿足條件的直線l的方程.

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