Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值；

（3）若正實數(shù)滿足，證明： ．

Answer 1

【答案】（1）;（2）見解析.

【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；（2）先將不等式進行轉(zhuǎn)化，再構(gòu)造函數(shù)運用導(dǎo)數(shù)進行求解；（3）先將問題進行等價轉(zhuǎn)化再構(gòu)造函數(shù)運用導(dǎo)數(shù)知識求解：

（1）因為， ， ，

所以切線方程為，即.

（2）令，

所以 ，

當(dāng)時，因為，所以，所以是上的遞增函數(shù)，

又因為，所以關(guān)于的不等式不能恒成立.

當(dāng)時， ，

令，得，所以當(dāng)時， ；當(dāng)時， ，

因此函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，故函數(shù)的最大值為.

令，

則在上是減函數(shù)，

因為， ，

所以當(dāng)時， ，所以整數(shù)的最小值為2．

（3）由，得

，

從而，

令，則由，得，可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，所以，又，

因此成立.