【題目】如圖,銳角的三邊互不相等,其垂心為,是邊的中點(diǎn),直線,的外接圓交的外接圓于,直線與的外接圓、的外接圓分別交于證明:
(1)平分;
(2)三線共點(diǎn)。
【答案】(1)見解析;(2)見解析
【解析】
(1)如圖,聯(lián)結(jié).因四點(diǎn)共圓,其圓心為,則.
聯(lián)結(jié).
由和分別四點(diǎn)共圓,得,
.相加得.
故四點(diǎn)共圓.
又因四點(diǎn)共圓,即有五點(diǎn)共圓,此圓直徑為,設(shè)圓心為.所以,,即三點(diǎn)共線.
由,即,故為的外接圓直徑.從而,.
由,知為的外接圓直徑.進(jìn)而,,∥∥.
因直徑過的中點(diǎn),故垂直且平分弦.
同理,的外接圓直徑.
又,則∥,∥.
于是,∽.所以,.①
由∥,得∽.所以,.②
①×②,且,有.
所以,∽.
故平分.平分;
(2)為證三線共點(diǎn),只要證皆過點(diǎn).
由于的圓心角,
所以,∥.因此,三點(diǎn)共線.
同理,三點(diǎn)共線.
因此,三線共點(diǎn).
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