Question

（2012•海淀區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓G的中心為坐標(biāo)原點，左焦點為F₁（-1，0），P為橢圓G的上頂點，且∠PF₁O=45°．
（Ⅰ）求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知直線l₁：y=kx+m₁與橢圓G交于A，B兩點，直線l₂：y=kx+m₂（m₁≠m₂）與橢圓G交于C，D兩點，且|AB|=|CD|，如圖所示．（�。┳C明：m₁+m₂=0；（ⅱ）求四邊形ABCD的面積S的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)F₁（-1，0），∠PF₁O=45°，可得b=c=1，從而a²=b²+c²=2，故可得橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
（�。┲本�l₁：y=kx+m₁與橢圓G聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，可求AB，CD的長，利用|AB|=|CD|，可得結(jié)論；
（ⅱ）求出兩平行線AB，CD間的距離為d，則 d=

|m1-m2|

1+k2

，表示出四邊形ABCD的面積S，利用基本不等式，即可求得四邊形ABCD的面積S取得最大值．

解答：（Ⅰ）解：設(shè)橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
因為F₁（-1，0），∠PF₁O=45°，所以b=c=1．
所以，a²=b²+c²=2．…（2分）
所以，橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1．…（3分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
（�。┳C明：由

y=kx+m1 x2 2 +y2=1.

消去y得：(1+2k2)x2+4km1x+2

m

2 1

-2=0．
則△=8(2k2-

m

2 1

+1)＞0，

x1+x2=- 4km1 1+2k2 x1x2= 2 m 2 1 -2 1+2k2 .

…（5分）
所以 |AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

(- 4km1 1+2k2 )2-4• 2 m 2 1 -2 1+2k2

=2

2

1+k2

2k2- m 2 1 +1

1+2k2

．
同理 |CD|=2

2

1+k2

2k2- m 2 2 +1

1+2k2

．…（7分）
因為|AB|=|CD|，
所以 2

2

1+k2

2k2- m 2 1 +1

1+2k2

=2

2

1+k2

2k2- m 2 2 +1

1+2k2

．
因為 m₁≠m₂，所以m₁+m₂=0．…（9分）
（ⅱ）解：由題意得四邊形ABCD是平行四邊形，設(shè)兩平行線AB，CD間的距離為d，則 d=

|m1-m2|

1+k2

．因為 m₁+m₂=0，所以 d=

|2m1|

1+k2

．…（10分）
所以 S=|AB|•d=2

2

1+k2

2k2- m 2 1 +1

1+2k2

•

|2m1|

1+k2

=4

2

(2k2- m 2 1 +1) m 2 1

1+2k2

≤4

2

2k2- m 2 1 +1+ m 2 1 2

1+2k2

=2

2

．
（或S=4

2

(2k2+1) m 2 1 - m 4 1 (1+2k2)2

=4

2

-( m 2 1 1+2k2 - 1 2 )2+ 1 4

≤2

2

）
所以 當(dāng)2k2+1=2

m

2 1

時，四邊形ABCD的面積S取得最大值為2

2

．…（12分）

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長的計算，考查三角形的面積，同時考查利用基本不等式求最值，正確求弦長，表示出四邊形的面積是解題的關(guān)鍵．