Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）設(shè)函數(shù)，若，求的極值；

（2）設(shè)函數(shù)，若的圖象與的圖象有，兩個(gè)不同的交點(diǎn)，證明：.

Answer 1

【答案】（1）極大值為，極小值為；（2）證明見解析.

【解析】

（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求極值即可；

（2）函數(shù)的圖象與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，等價(jià)于關(guān)于的方程，即有兩個(gè)不同的根，再構(gòu)造函數(shù)

解：（1）因?yàn)?/span>，

所以，

.

令，得，

所以在，上單調(diào)遞增；

令，得，

所以在上單調(diào)遞減.

故的極大值為，

故的極小值為.

（2）證明：，

因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

所以關(guān)于的方程，即有兩個(gè)不同的根.

由題知①，②，

①+②得③，

②-①得④.

由③，④得，

不妨設(shè)，記.

令，則，

所以在上單調(diào)遞增，

所以,

則，即，

所以.

因?yàn)?/span>

所以，

即.

令，

則在上單調(diào)遞增.

又，

所以，

即，

所以.

兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得，

得證.