Question

【題目】德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷(Dirichlet,1805~1859)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著.19世紀(jì),狄利克雷定義了一個(gè)“奇怪的函數(shù)” 其中R為實(shí)數(shù)集,Q為有理數(shù)集.則關(guān)于函數(shù)有如下四個(gè)命題,正確的為( )

A.函數(shù)是偶函數(shù)

B.,,恒成立

C.任取一個(gè)不為零的有理數(shù)T,對任意的恒成立

D.不存在三個(gè)點(diǎn),,,使得為等腰直角三角形

Answer 1

【答案】ACD

【解析】

根據(jù)函數(shù)的定義以及解析式，逐項(xiàng)判斷即可．

對于A，若，則，滿足；若，則，滿足；故函數(shù)為偶函數(shù)，選項(xiàng)A正確；

對于B，取，則，，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對于C，若，則，滿足；若，則，滿足，故選項(xiàng)C正確；

對于D，要為等腰直角三角形，只可能如下四種情況：

①直角頂點(diǎn)在上，斜邊在軸上，此時(shí)點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為無理數(shù)，則中點(diǎn)的橫坐標(biāo)仍然為無理數(shù)，那么點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為無理數(shù)，這與點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1矛盾，故不成立；

②直角頂點(diǎn)在上，斜邊不在軸上，此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為無理數(shù)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)也應(yīng)為無理數(shù)，這與點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1矛盾，故不成立；

③直角頂點(diǎn)在軸上，斜邊在上，此時(shí)點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為有理數(shù)，則中點(diǎn)的橫坐標(biāo)仍然為有理數(shù)，那么點(diǎn)的橫坐標(biāo)也應(yīng)為有理數(shù)，這與點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0矛盾，故不成立；

④直角頂點(diǎn)在軸上，斜邊不在上，此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為無理數(shù)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)也應(yīng)為無理數(shù)，這與點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1矛盾，故不成立．

綜上，不存在三個(gè)點(diǎn)，，，使得為等腰直角三角形，故選項(xiàng)D正確．

故選：．