Question

求證：（1）sin（nπ＋α）=（-1）ⁿsinα（n∈Z）；

（2）cos（nπ＋α）=（-1）ⁿcosα（n∈Z）.

Answer 1

思路分析：因?yàn)閚∈Z，所以應(yīng)把n分成奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況，結(jié)合誘導(dǎo)公式求解.

證明：（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2k-1（k∈Z），則

sin（nπ＋α）=sin［（2k-1）π＋α］=sin（-π＋α）

=-sin（π-α）=-sinα=（-1）ⁿsinα;

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2k（k∈Z），則

sin（nπ＋α）=sin（2kπ＋α）=sinα=（-1）ⁿsinα，

∴sin（nπ＋α）=（-1）ⁿsinα（n∈Z）.

（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2k-1（k∈Z），則

cos（nπ＋α）=cos［（2k-1）π＋α］=cos（-π＋α）

=cos（π-α）=-cosα=（-1）ⁿcosα；

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2k（k∈Z），

cos（nπ＋α）=cos（2kπ＋α）=cosα=（-1）ⁿcosα，

∴cos（nπ＋α）=（-1）ⁿcosα（n∈Z）.

方法歸納 誘導(dǎo)公式的第一、二、四、五組都是與kπ（k∈Z）有關(guān)的角，當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，可直接用公式一或五去化簡(jiǎn)，當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，應(yīng)先用公式一或五轉(zhuǎn)化成π±α的形式，再用公式二或四去化簡(jiǎn).