Question

求證：
（1）

sin(α-β)

cosαcosβ

=tanα-tanβ
（2）

1

cos00cos10

+

1

cos10cos20

+

1

cos20cos30

+…+

1

cos880cos890

=

cos10

sin210

．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡等式的左邊，即可證明等式；
（2）利用表達式的左側(cè)，分子分母同乘sin1°，利用兩角差的正弦函數(shù)展開分子，化簡表達式求和即可證明結(jié)果．

解答：證明：（1）左=

sin(α-β)

cosαcosβ

=

sinαcosβ-cosαsinβ

cosαcosβ

=

sinαcosβ

cosαcosβ

-

cosαsinβ

cosαcosβ

=tanα-tanβ=右．
∴

sin(α-β)

cosαcosβ

=tanα-tanβ
∴等式成立．
（2）∵

sin1°

cosn°cos(n+1)°

=

sin[(n+1)°-n°]

cosn°cos(n+1)°

=

sin(n+1)°cosn°-cos(n+1)°sinn°

cosn°cos(n+1)°

=tan（n+1）°-tann°．
∴左=

1

cos0°cos1°

+

1

cos1°cos2°

+

1

cos2°cos3°

+…+

1

cos88°cos89°

=

1

sin1°

(

sin1°

cos0°cos1°

+

sin1°

cos1°cos2°

+

sin1°

cos2°cos3°

+…+

sin1°

cos88°cos89°

)
=

1

sin1°

(tan1°-tan0°+tan2°-tan1°+…+tan89°-tan88°)
=

1

sin1°

•tan89°
=

1

sin1°

•

sin89°

cos89°

=

cos1°

sin21°

=右．
∴

1

cos0°cos1°

+

1

cos1°cos2°

+

1

cos2°cos3°

+…+

1

cos88°cos89°

=

cos1°

sin21°

∴等式成立．

點評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，三角恒等式的證明，解題要注意公式的靈活運用．