Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinωxsin（

π

2

+ωx）-cos²ωx-

1

2

（ω＞0），其圖象兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為

π

2

．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且c=

7

，f（C）=0，若向量

m

=（1，sinA）與向量

n

=（3，sinB）共線，求a，b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（Ⅰ）化簡函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2ωx-

π

6

）-1，由其圖象兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為

π

2

，可得最小正周期為T=π，即可解得ω．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知sin（2C-

π

6

）=1，解得C=

π

3

，由已知

m

∥

n

可得b-3a=0①，由余弦定理，又已知c=

7

，即可解得7=a²+b²-ab②，聯(lián)立方程可解得a，b的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3

sinωxsin（

π

2

+ωx）-cos²ωx-

1

2

=

3

sinωxcosωx-

1+cos2ωx

2

-

1

2

=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx-1
=sin（2ωx-

π

6

）-1
∵其圖象兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為

π

2

．
∴最小正周期為T=π，
∴ω=1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f（x）=sin（2x-

π

6

）-1
∴sin（2C-

π

6

）=1
∵0＜C＜π，
∴-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，
∴2C-

π

6

=

π

2

，
即C=

π

3

由已知

m

∥

n

可得sinB-3sinA=0，
在△ABC中，由正弦定理可得b-3a=0①
由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，
又已知c=

7

∴7=a²+b²-ab②
由①②聯(lián)立，可解得：a=1，b=3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)的應(yīng)用，考查了余弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)周期公式的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．