Question

（1）(x

x

+

1

3 x

)n的展開(kāi)式奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)；
（2）求（1-x³）（1+x）¹⁰的展開(kāi)式中x⁵的系數(shù)．

Answer 1

分析：（1）利用展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)列出方程求出n，利用二項(xiàng)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，再利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)．
（2）先將多項(xiàng)式展開(kāi)，分析可得（1-x³）（1+x）¹⁰展開(kāi)式中的x⁵的系數(shù)是（1+x）¹⁰的展開(kāi)式中的x⁵的系數(shù)減去（1+x）¹⁰的x²的系數(shù)，利用二項(xiàng)式定理可得（1+x）¹⁰展開(kāi)式的含x⁵的系數(shù)與含x²的系數(shù)，相減可得答案．

解答：解：（1）由已知得C_n¹+C_n³+C_n⁵+…=128，
∴2^n-1=128
∴n=8，
而展開(kāi)式中二項(xiàng)式
系數(shù)最大項(xiàng)是T₅=

C

4 8

(x

x

)4(

1

3 x

)4=70x4

3	x2

．
（2）：（1-x³）（1+x）¹⁰=（1+x）¹⁰-x³（1+x）¹⁰
則（1-x³）（1+x）¹⁰展開(kāi)式中的x⁵的系數(shù)是（1+x）¹⁰的展開(kāi)式中的x⁵的系數(shù)減去（1+x）¹⁰的x²的系數(shù)，
由二項(xiàng)式定理，（1+x）¹⁰的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)_r+1=C₁₀^rx^r
令r=5，得（1+x）¹⁰展開(kāi)式的含x⁵的系數(shù)為C₁₀⁵，
令r=2，得其展開(kāi)式的含x²的系數(shù)為C₁₀²
則x⁵的系數(shù)是C₁₀⁵-C₁₀²=252-45=207

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題；本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．