Question

（1）在（1+x）ⁿ的展開式中，若第3項(xiàng)與第6項(xiàng)系數(shù)相等，則n等于多少？
（2）(x

x

+

1

3 x

)n的展開式奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，則求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．
（3）已知(x2-

1

x

)n展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)的和比（3a+2b）⁷展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和大128，求(x2-

1

x

)n展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第3項(xiàng)與第6項(xiàng)系數(shù)，列出方程解得．
（2）利用已知求出n，據(jù)二項(xiàng)展開式中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，求出展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．
（3）利用展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為2ⁿ，列出方程求出n，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，據(jù)通項(xiàng)求出展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng)．

解答：解：（1）由已知得C_n²=C_n⁵?n=7
（2）由已知得C_n¹+C_n³+C_n⁵+=128，2^n-1=128，n=8，
而展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是T4+1=

C

4 8

(x

x

)4(

1

3 x

)4=70x4

3	x2

．
（3）解：2ⁿ-2⁷=128，n=8，(x2-

1

x

)8的通項(xiàng)Tr+1=

C

r 8

(x2)8-r(-

1

x

)r=(-1)r

C

r 8

x16-3r
當(dāng)r=4時(shí)，展開式中的系數(shù)最大，即T₅=70x⁴為展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng)；
當(dāng)r=3，或5時(shí)，展開式中的系數(shù)最小，即T₃-56x⁷，T₆=-56x為展開式中的系數(shù)最小的項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題的工具；考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：展開式的中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大及展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為2ⁿ．