Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+ax-lnx．
（1）若a=1，試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）函數(shù)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求導(dǎo)，函數(shù)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，可得a≥$\frac{1}{x}$-2x恒成立，只需求$\frac{1}{x}$-2x的最大值即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)
f（x）=x²+x-lnx
∴f'（x）=2x+1-$\frac{1}{x}$
=$\frac{（x+1）（2x-1）}{x}$
∴當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{2}$）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）遞減，
當(dāng)x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）遞增；
（2）f'（x）=2x+a-$\frac{1}{x}$
函數(shù)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴a≥$\frac{1}{x}$-2x恒成立
令g（x）=$\frac{1}{x}$-2x，則g'（x）=-$\frac{（2{x}^{2}+1）}{{x}^{2}}$＜0
g（x）≤g（1）=-1
∴a≥-1．

點(diǎn)評(píng) 考察了導(dǎo)函數(shù)的利用和恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)換，屬于常規(guī)題型，應(yīng)熟練掌握．