Question

12．設函數(shù)f（x）=x²+ax-lnx．
（1）若a=1，試求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）函數(shù)f（x）在[1，2]上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導數(shù)求得函數(shù)的單調區(qū)間即可；
（2）求導，函數(shù)f（x）在[1，2]上單調遞增，可得a≥$\frac{1}{x}$-2x恒成立，只需求$\frac{1}{x}$-2x的最大值即可．

解答 解：（1）當a=1時
f（x）=x²+x-lnx
∴f'（x）=2x+1-$\frac{1}{x}$
=$\frac{（x+1）（2x-1）}{x}$
∴當x∈（0，$\frac{1}{2}$）時，f'（x）＜0，f（x）遞減，
當x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）遞增；
（2）f'（x）=2x+a-$\frac{1}{x}$
函數(shù)f（x）在[1，2]上單調遞增，
∴a≥$\frac{1}{x}$-2x恒成立
令g（x）=$\frac{1}{x}$-2x，則g'（x）=-$\frac{（2{x}^{2}+1）}{{x}^{2}}$＜0
g（x）≤g（1）=-1
∴a≥-1．

點評 考察了導函數(shù)的利用和恒成立問題的轉換，屬于常規(guī)題型，應熟練掌握．