Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（x+

α

2

）cos（x+

α

2

）+2

3

cos²（x+

α

2

）-

3

，α為常數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的周期；
（Ⅱ）若0≤α≤π時(shí)，求使函數(shù)f（x）為偶函數(shù)的α值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）=sin（2x+α）+

3

[cos（2x+α）+1]-

3

=2 sin（2x+α+

π

3

），由此能求出f（x）的周期．
（Ⅱ）要使函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，只需α+

π

3

=kπ+

π

2

，（k∈Z）由此能求出α．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin（2x+α）+

3

[cos（2x+α）+1]-

3

=sin（2x+α）+

3

cos（2x+α）
=2sin（2x+α+

π

3

）
∴f（x）的周期T=

2π

2

=π
（Ⅱ）要使函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
只需α+

π

3

=kπ+

π

2

，（k∈Z）
即α=kπ+

π

6

，（k∈Z）
因?yàn)?≤α≤π，
所以α=

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意三角函數(shù)的恒等變換．