已知在（
x
+
3x
）n（其中n＜15）的展開式中：
（1）求二項式展開式中各項系數(shù)之和；
（2）若展開式中第9項，第10項，第11項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求n的值；
（3）在（2）的條件下寫出它展開式中的有理項．
考點：二項式定理的應(yīng)用
專題：計算題,二項式定理
分析：（1）由二項式系數(shù)即為該項的系數(shù)，再由二項式系數(shù)的性質(zhì)，即可得到；
（2）由展開式中的通項，得到各項的二項式系數(shù)，再由等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合組合數(shù)公式，化簡整理，解方程即可求出n；
（3）寫出通項，化簡整理，判斷r是6的倍數(shù)，又0≤r≤14，列舉出所有的有理項即可．
解答： 解：（1）∵二項展開式中各項的系數(shù)就是各項的二項式系數(shù)
C
0
n
，
C
1
n
，
C
2
n
，…，
C
n
n
，
∴各項系數(shù)之和為
C
0
n
+
C
1
n
+
C
2
n
+…+
C
n
n
=2n
（2）(
x
+
3x
)n（其中n＜15）的展開式中第9項，第10項，第11項的二項式系數(shù)分別是
C
8
n
，
C
9
n
，
C
10
n
．
依題意得
C
8
n
+
C
10
n
=2
C
9
n
，
寫成：
n!
8!(n-8)!
+
n!
10!(n-10)!
=2•
n!
9!(n-9)!
，
化簡得90+（n-9）（n-8）=2•10（n-8），
即：n2-37n+322=0，解得n=14或n=23，
∵n＜15，∴n=14．
（2）展開式的通項Tr+1=
C
r
14
x
14-r
2
x
r
3
=
C
r
14
x
42-r
6

∴展開式中的有理項當(dāng)且僅當(dāng)r是6的倍數(shù)，又0≤r≤14，
∴展開式中的有理項共3項是：r=0，T1=
C
0
14
x7=x7；r=6，T7=
C
6
14
x6=164x6；r=12，T13=
C
12
14
x5=91x5
點評：本題主要考查二項式定理的運用，注意運用通項公式求某一項，區(qū)別二項式系數(shù)與某一項的系數(shù)，注意隱含條件的運用，考查組合數(shù)的公式及指數(shù)的運算，屬于中檔題．
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（1）若m=-1，n=0，求an；
（2）若m=3，設(shè)數(shù)列{an}與{bn]的前n項和分別為Sn和Tn，求T2014-S2014；
（3）若m=2，n=1，求證：
n
2
-
1
3
＜
b1
b2
+
b2
b3
+…+
bn
n+1b 
＜
n
2
．

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z
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（2）令Tn=
Sn
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