Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a₁=2，n•a_n+1=S_n+n（n+1），
（1）證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
（2）令T_n=

Sn

2n

，①當(dāng)n為何正整數(shù)值時(shí)，T_n＞T_n+1：
②若對(duì)一切正整數(shù)n，總有T_n≤m，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用n•a_n+1=S_n+n（n+1），再寫一式兩式相減，即可證明數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，從而可求其通項(xiàng)公式；
（2）①利用T_n＞T_n+1，即可求出n的值；
②確定各項(xiàng)中數(shù)值最大為

3

2

，從而求m的取值范圍．

解答： （1）證明：令n=1時(shí)，1•a₂=S₁+1•2，即a₂-a₁=2，
∵n•a_n+1=S_n+n（n+1），
∴n≥2時(shí)，（n-1）•a_n=S_n-1+n（n-1），
兩式相減整理得：a_n+1-a_n=2，
∵a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=2n；
（2）解：①T_n=

Sn

2n

=

n(n+1)

2n

＞T_n+1=

(n+1)(n+2)

2n+1

，
∴n＞2；
②∵T₁=1，T₂=T₃=

3

2

，T_n＞T_n+1，
∴各項(xiàng)中數(shù)值最大為

3

2

，
∵對(duì)一切正整數(shù)n，總有T_n≤m，
∴m≥

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．