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已知函數f(x)=ax,(a>0且a≠1)的反函數是y=g(x).
(1)求函數y=g(x)的表達式;
(2)對于函數y=g(x),當x∈[2,8]時,最大值與最小值的差是2,求a的值;
(3)在(2)的條件下,當x∈[0,3]時,求函數y=f(x)的值域.

解:(1)令y=f(x)=ax,
由有x=logay
故函數的反函數的解析式是y=logax,(x>0)
(2)當a>1時.函數y=logax在[2,8]上是增函數,
所以最大值為loga8,最小值為loga2,
最大值與最小值的差是2,
∴l(xiāng)oga8-loga2=2,解得:a=2;
當0<a<1時.函數y=logax在[2,8]上是減函數,
所以最大值為loga2,最小值為loga8,
最大值與最小值的差是2,
∴l(xiāng)oga2-loga8=2,解得:a=;
綜上所述,a的值2或;
(3)當a=2時,函數y=2x在[0,3]上是增函數,函數y=f(x)的值域為:[1,8];
當a=時,函數y=x在[0,3]上是增函數,函數y=f(x)的值域為:[,1];
分析:(1)先令y=f(x)=ax,用y表示出x,再交換x,y的位置,即可得出反函數
(2)對a進行分類討論,再根據對數函數的單調性,可得函數logax在[2,8]上的單調性,進而可得其最大最小值,相差可得a,從而求出答案.
(3)根據指數函數的單調性,可得函數y=ax在[0,3]上是增函數,進而可得其最大最小值,相加可得答案.
點評:本題考查反函數、對數函數的值域與最值.在處理指數函數和對數函數問題時,若對數未知,一般情況下要對底數進行分類討論,分為0<a<1,a>1兩種情況,然后在每種情況對問題進行解答,然后再將結論綜合,得到最終的結果
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1
4
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