（本小題滿分12分）
如果兩個橢圓的離心率相等，那么就稱這兩個橢圓相似.已知橢圓與橢圓相似，且橢圓的一個短軸端點是拋物線的焦點.
（Ⅰ）試求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設橢圓的中心在原點，對稱軸在坐標軸上，直線與橢圓交于兩點，且與橢圓交于兩點.若線段與線段的中點重合，試判斷橢圓與橢圓是否為相似橢圓？并證明你的判斷.

（Ⅰ）.（Ⅱ）橢圓與橢圓是相似橢圓. 證明見解析。

解析試題分析：（Ⅰ）橢圓的離心率為， 拋物線的焦點為. 
設橢圓的方程為，由題意，得：　，解得，
∴橢圓的標準方程為 .                        ………………………………4分
（Ⅱ）解法一：橢圓與橢圓是相似橢圓.                 ………………………………5分
聯(lián)立和的方程，，消去，得，   ……6分
設的橫坐標分別為，則.  
設橢圓的方程為，      …………………………………7分
聯(lián)立方程組，消去，得,
設的橫坐標分別為，則. 
∵弦的中點與弦的中點重合，∴，，
∵，∴化簡得， ……………………………10分
求得橢圓的離心率，    ………………………12分
∴橢圓與橢圓是相似橢圓.
解法二：（參照解法1評分）
設橢圓的方程為，.
∵在橢圓上，∴且，兩式相減并恒等變形得. 
由在橢圓上，仿前述方法可得.
∵弦的中點與弦的中點重合，
∴，求得橢圓的離心率， 即橢圓與橢圓是相似橢圓.
考點：本題主要考查橢圓的標準方程，橢圓的幾何性質，直線與橢圓的位置關系。
點評：綜合題，判斷橢圓與橢圓是否為相似橢圓，主要是要把握好“如果兩個橢圓的離心率相等，那么就稱這兩個橢圓相似”這一定義，“點差法”是常用方法．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心為直角坐標系的原點，焦點在軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1
(1)求橢圓的方程
(2)若為橢圓的動點，為過且垂直于軸的直線上的點，（e為橢圓C的離心率），求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

動圓經(jīng)過定點，且與直線相切。
（1）求圓心的軌跡方程；
（2）直線過定點與曲線交于、兩點：
①若，求直線的方程；
②若點始終在以為直徑的圓內，求的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知橢圓M的中心為坐標原點 ，且焦點在x軸上，若M的一個頂點恰好是拋物線的焦點，M的離心率，過M的右焦點F作不與坐標軸垂直的直線，交M于A，B兩點。
（1）求橢圓M的標準方程；
（2）設點N（t，0）是一個動點，且，求實數(shù)t的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

(本小題滿分12分)
（1）焦點在x軸上的橢圓的一個頂點為A（2，0），其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標準方程．
（2）已知雙曲線的一條漸近線方程是，并經(jīng)過點，求此雙曲線的標準方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（滿分10分）（Ⅰ） 設橢圓方程的左、右頂點分別為，點M是橢圓上異于的任意一點，設直線的斜率分別為，求證為定值并求出此定值；
（Ⅱ）設橢圓方程的左、右頂點分別為，點M是橢圓上異于的任意一點，設直線的斜率分別為，利用（Ⅰ）的結論直接寫出的值。（不必寫出推理過程）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

(本題滿分12分)
求焦點為(-5,0)和(5,0)，且一條漸近線為的雙曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分14分）如圖橢圓的上頂點為A，左頂點為B, F為右焦點, 過F作平行于AB的直線交橢圓于C、D兩點. 作平行四邊形OCED, E恰在橢圓上。

（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若平行四邊形OCED的面積為, 求橢圓的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
已知橢圓 及直線，當直線和橢圓有公共點時.
（1）求實數(shù)的取值范圍；
（2）求被橢圓截得的最長的弦所在的直線的方程.

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