已知橢圓的中心為直角坐標系
的原點,焦點在
軸上,它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1
(1)求橢圓的方程
(2)若為橢圓
的動點,
為過
且垂直于
軸的直線上的點,
(e為橢圓C的離心率),求點
的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線?
(1)(2)軌跡方程為
軌跡是兩條平行于x軸的線段.
解析試題分析:(1)設橢圓長半軸長及分別為a,c,由已知得
{ 解得a=4,c=3,
所以橢圓C的方程為
(2)設M(x,y),P(x,),其中
由已知得
而,故
①
由點P在橢圓C上得
代入①式并化簡得
所以點M的軌跡方程為軌跡是兩條平行于x軸的線段.
考點:橢圓的標準方程;橢圓的簡單性質;軌跡方程的求法。
點評:求軌跡方程的基本步驟:①建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼�,設P(x,y)是軌跡上的任意一點;②尋找動點P(x,y)所滿足的條件;③用坐標(x,y)表示條件,列出方程f(x,y)=0;④化簡方程f(x,y)=0為最簡形式;⑤證明所得方程即為所求的軌跡方程,注意驗證。
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分13分)已知函數(shù)(其中
且
為常數(shù))的圖像經過點A
、B
.
是函數(shù)
圖像上的點,
是
正半軸上的點.
(1) 求的解析式;
(2) 設為坐標原點,
是一系列正三角形,記它們的邊長是
,求數(shù)列
的通項公式;
(3) 在(2)的條件下,數(shù)列滿足
,記
的前
項和為
,證明:
。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知橢圓C中心在原點,焦點在軸上,一條經過點
且傾斜角余弦值為
的直線
交橢圓于A,B兩點,交
軸于M點,又
.
(1)求直線的方程;
(2)求橢圓C長軸的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知橢圓C :經過點
離心率為
。
(Ⅰ) 求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設直線l與橢圓C相交于A、B兩點,以線段OA、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB,其中頂點P在橢圓C上,O為坐標原點。求O到直線l的距離的最小值。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分13分)已知中心在坐標原點O,焦點在軸上,長軸長是短軸長的2倍的橢圓經過點M(2,1)
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)直線平行于
,且與橢圓交于A、B兩個不同點.
(ⅰ)若為鈍角,求直線
在
軸上的截距m的取值范圍;
(ⅱ)求證直線MA、MB與x軸圍成的三角形總是等腰三角形.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分13分)
已知橢圓的離心率為
,橢圓短軸長為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知動直線與橢圓
相交于
、
兩點. ①若線段
中點的橫坐標為
,求斜率
的值;②若點
,求證:
為定值。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本題12分)直線l:y=kx+1與雙曲線C:的右支交于不同的兩點A,B
(Ⅰ)求實數(shù)k的取值范圍;
(Ⅱ)是否存在實數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F?若存在,求出k的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
如果兩個橢圓的離心率相等,那么就稱這兩個橢圓相似.已知橢圓與橢圓
相似,且橢圓
的一個短軸端點是拋物線
的焦點.
(Ⅰ)試求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)設橢圓的中心在原點,對稱軸在坐標軸上,直線
與橢圓
交于
兩點,且與橢圓
交于
兩點.若線段
與線段
的中點重合,試判斷橢圓
與橢圓
是否為相似橢圓?并證明你的判斷.
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