Question

如圖，在平面四邊形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=

7

．
（Ⅰ）求cos∠CAD的值；
（Ⅱ）若cos∠BAD=-

7

14

，sin∠CBA=

21

6

，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專(zhuān)題：解三角形

分析：（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知條件求得cos∠CAD的值．
（Ⅱ）根據(jù)cos∠CAD，cos∠BAD的值分別，求得sin∠BAD和sin∠CAD，進(jìn)而利用兩角和公式求得sin∠BAC的值，最后利用正弦定理求得BC．

解答： 解：（Ⅰ）cos∠CAD=

AC2+AD2-CD2

2•AD•AC

=

1+7-4

2×1× 7

=

2 7

7

．
（Ⅱ）∵cos∠BAD=-

7

14

，
∴sin∠BAD=

1- 7 196

=

3 21

14

，
∵cos∠CAD=

2 7

7

，
∴sin∠CAD=

1- 4 7

=

21

7

∴sin∠BAC=sin（∠BAD-∠CAD）=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD=

3 21

14

×

2 7

7

+

7

14

×

21

7

=

3

2

，
∴由正弦定理知

BC

sin∠BAC

=

AC

sin∠ABC

，
∴BC=

AC

sin∠ABC

•sin∠BAC=

7

21 6

×

3

2

=3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的綜合運(yùn)用，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用．考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．