Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+x²-ax（a為常數(shù)）．
（1）若x=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值；
（2）當(dāng)0＜a≤2時(shí)，試判斷f（x）的單調(diào)性；
（3）若對任意的a∈（1，2），x₀∈[1，2]，使不等式f（x₀）＞mlna恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用極值的 定義，即可求a的值；
（2）當(dāng)0＜a≤2時(shí)，判斷導(dǎo)數(shù)的符號，即可判斷f（x）的單調(diào)性；
（3）問題等價(jià)于：對任意的a∈（1，2），不等式1-a＞mlna恒成立．即m＜

1-a

lna

恒成立．

解答： 解：f′(x)=

1

x

+2x-a．
（1）由已知得：f'（1）=0，∴1+2-a=0，∴a=3．…（3分）
（2）當(dāng)0＜a≤2時(shí)，f′（x）=

2(x- a 4 )2+1- a2 8

x

因?yàn)?＜a≤2，所以1-

a2

8

＞0，而x＞0，即f′(x)=

2x2-ax+1

x

＞0，
故f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．…（8分）
（3）當(dāng)a∈（1，2）時(shí)，由（2）知，f（x）在[1，2]上的最小值為f（1）=1-a，
故問題等價(jià)于：對任意的a∈（1，2），不等式1-a＞mlna恒成立．即m＜

1-a

lna

恒成立
記g(a)=

1-a

lna

，（1＜a＜2），則g′(a)=

-alna-1+a

aln2a

，…（10分）
令M（a）=-alna-1+a，則M'（a）=-lna＜0
所以M（a），所以M（a）＜M（1）=0…（12分）
故g'（a）＜0，所以g(a)=

1-a

lna

在a∈（1，2）上單調(diào)遞減，
所以m≤g(2)=

1-2

ln2

=-log2e
即實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，-log₂e]．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，正確分離參數(shù)是關(guān)鍵．