Question

若sin²α+2sin²β=2cosα，則sin²α+sin²β的最大值是

 

，最小值是

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：令t=cosα，則由sin²β=（t+1）²-2≥0以及t∈[-1，1]，求得

2

-1≤t≤1．再由f（t）=sin²α+sin²β=-

1

2

[（t-1）²-2]，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的最值．

解答： 解：∵sin²α+2sin²β=2cosα，令t=cosα，則sin²β=2cosα-sin²α=（cosα+1）²-2=（t+1）²-2≥0．
再根據(jù)t∈[-1，1]，求得

2

-1≤t≤1．
由f（t）=sin²α+sin²β=1-cos²α+（t+1）²-2=-

1

2

[（t-1）²-2]，
而且函數(shù)f（t）在[

2

-1，1]上單調(diào)遞增，
故有f（

2

-1）≤f（t）≤f（1），即 2

2

-2≤f（t）≤1，
故答案為：1，2

2

-2．

點評：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，余弦函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．