【題目】如圖,在正四棱錐P﹣ABCD中,AB=2,PA= ,E是棱PC的中點(diǎn),過(guò)AE作平面分別與棱PB、PD交于M、N兩點(diǎn).
(1)若PM= PB,PN=λPD,求λ的值;
(2)求直線PA與平面AMEN所成角的正弦值的取值范圍.

【答案】
(1)解:連接AC、BD交于點(diǎn)O,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,﹣ ,0),B ( ,0,0),C(0, ,0),D(﹣ ,0,0),P(0,0,2),E(0, ,1)

, , ,

,

∵AN,AE,AM共面,∴


(2)解:根據(jù)正四棱錐P﹣ABCD的對(duì)稱性可知,當(dāng)PM=PN時(shí),P到面AMEN的距離最大,此時(shí)直線PA與平面AMEN所角最大,

,P到面AMEN的距離最小,此時(shí)直線PA與平面AMEN所角最小.

①由(Ⅰ)知當(dāng)PM=PN時(shí),λ= , ,

設(shè)面AMEN的法向量為 ,

,

設(shè)直線PA與平面AMEN所成角為θ,sinθ=|cos< >|= ,

②當(dāng)M在B時(shí),因?yàn)锳B∥面PDC,所以過(guò)AB,AE的面與面PDC的交線NE∥AB

設(shè) 是面ABEN的法向量,

,可取

sinθ=|cos< >|=

直線PA與平面AMEN所成角的正弦值的取值范圍為[ , ]


【解析】(1)連接AC、BD交于點(diǎn)O,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,﹣ ,0),B ( ,0,0),C(0, ,0),D(﹣ ,0,0),P(0,0,2),E(0, ,1)由AN,AE,AM共面, .(2)根據(jù)正四棱錐P﹣ABCD的對(duì)稱性可知,當(dāng)PM=PN時(shí),P到面AMEN的距離最大,此時(shí)直線PA與平面AMEN所角最大,P到面AMEN的距離最小,此時(shí)直線PA與平面AMEN所角最。孟蛄糠謩e求出求解直線PA與平面AMEN所成角的正弦值.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在上的值域.

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天數(shù)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

空氣質(zhì)量指數(shù)

7.1

8.3

7.3

9.5

8.6

7.7

8.7

8.8

8.7

9.1

天數(shù)

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

空氣質(zhì)量指數(shù)

7.4

8.5

9.7

8.4

9.6

7.6

9.4

8.9

8.3

9.3

(Ⅰ)求從這20天隨機(jī)抽取3天,至少有2天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率;
(Ⅱ)以這20天的數(shù)據(jù)估計(jì)我市總體空氣質(zhì)量(天數(shù)很多).若從我市總體空氣質(zhì)量指數(shù)中隨機(jī)抽取3天的指數(shù),用X表示抽到空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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【題目】設(shè)y=f(t)是某港口水的深度y()關(guān)于時(shí)間t(小時(shí))的函數(shù),其中.下表是該港口某一天從0時(shí)至24時(shí)記錄的時(shí)間t與水深y的關(guān)系:

t

0

3

6

9

12

15

18

21

24

y

12

15.1

12.1

9.1

12

14.9

11.9

9

12.1

經(jīng)長(zhǎng)期觀察,函數(shù)y=f(t)的圖象可以近似地看成函數(shù)的圖象.⑴求的解析式;⑵設(shè)水深不小于米時(shí),輪船才能進(jìn)出港口。某輪船在一晝夜內(nèi)要進(jìn)港口靠岸辦事,然后再出港。問(wèn)該輪船最多能在港口?慷嚅L(zhǎng)時(shí)間?

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①若a∈R,則“<1”是“a>1”的必要不充分條件;

②“pq為真命題”是“pq為真命題”的必要不充分條件;

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