Question

2．在l：x+y-4=0任取一點M，過M且以橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1的焦點為焦點作橢圓，問M在何處，M到兩焦點的距離和最短，并求此橢圓方程．

Answer 1

分析 橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1的焦點分別為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）．設(shè)點F₂（2，0）關(guān)于直線l：x+y-4=0的對稱點為P（x，y），利用$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+2}{2}+\frac{y}{2}-4=0}\\{\frac{y}{x-2}=1}\end{array}\right.$，解得P．連接PF₁交直線l于點M，求出直線PF₁的方程與直線l的方程聯(lián)立解得M．可以證明點M即為所求．進而得到所求橢圓的方程．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1的焦點分別為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）．
設(shè)點F₂（2，0）關(guān)于直線l：x+y-4=0的對稱點為P（x，y），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+2}{2}+\frac{y}{2}-4=0}\\{\frac{y}{x-2}=1}\end{array}\right.$，解得P（4，2）．
連接PF₁交直線l于點M，
直線PF₁的方程為：x-3y+2=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{x-3y+2=0}\end{array}\right.$，解得M$（\frac{5}{2}，\frac{3}{2}）$．
則M$（\frac{5}{2}，\frac{3}{2}）$即為所求．
在直線l上除了點M外任取一點Q，則|QF₁|+|QP|＞|PF₁|=|MF₁|+|MF₂|．
設(shè)所求的橢圓標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．
則2a=|PF₁|=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
解得a=$\sqrt{10}$，c=2，b²=a²-c²=6．
∴要求的橢圓標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{10}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、軸對稱問題、中點坐標公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．