Question

12．求下列雙曲線的標準方程：
（1）經過兩點（-4，0）、（4$\sqrt{2}$，-2）：
（2）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1有相同的漸近線，且過點（2$\sqrt{6}$，$-2\sqrt{6}$）

Answer 1

分析 （1）設雙曲線方程為mx²-ny²=1，代入兩點（-4，0）、（4$\sqrt{2}$，-2），求出m，n，即可求出雙曲線的標準方程；
（2）設雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}$=λ，代入點（2$\sqrt{6}$，$-2\sqrt{6}$），求出λ，即可求出雙曲線的標準方程．

解答 解：（1）設雙曲線方程為mx²-ny²=1，
∵雙曲線經過兩點（-4，0）、（4$\sqrt{2}$，-2），
∴16m=1，32m-4n=1，
∴m=$\frac{1}{16}$，n=$\frac{1}{4}$，
∴雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）設雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}$=λ，
∵過點（2$\sqrt{6}$，$-2\sqrt{6}$），
∴$\frac{24}{4}-\frac{24}{3}$=λ，
∴λ=-2，
∴雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{6}-\frac{{x}^{2}}{8}=1$

點評 本題考查雙曲線的方程，考查待定系數法的運用，正確設出雙曲線的方程是關鍵．