Question

如圖多面體中，正方形ADEF所在的平面與直角梯形ABCD所在的平面垂直，且AD=AB=

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CD，AB∥CD，M為CE的中點(diǎn)．
（1）證明：BM∥平面ADEF；
（2）證明：平面BCE⊥平面BDE．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取DE中點(diǎn)N，連接MN，AN，由三角形中位線定理，結(jié)合已知中AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，易得四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN，再由線面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF；
（2）由已知中正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，易得ED⊥平面ABCD，進(jìn)而ED⊥BC，由勾股定理，我們易判斷出△BCD中，BC⊥BD，由線面垂直的判定定理可得BC⊥平面BDE，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面BCE⊥平面BDE．

解答： 證明：（1）取DE中點(diǎn)N，連接MN，AN
在△EDC中，M、N分別為EC，ED的中點(diǎn)，所以MN∥CD，且MN=

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CD．
由已知AB∥CD，AB=

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CD，所以MN∥AB，且MN=AB．
所以四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN
又因?yàn)锳N?平面ADEF，
且BM?平面ADEF，
所以BM∥平面ADEF．
（2）在正方形ADEF中，ED⊥AD，
又因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD，
且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC．
在直角梯形ABCD中，
AB=AD=2，CD=4，可得BC=2

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在△BCD中，BD=BC=2

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，CD=4，
所以BC⊥BD．
所以BC⊥平面BDE，
又因?yàn)锽C?平面BCE，
所以平面BCE⊥平面BDE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定，熟練掌握空間直線與平面不同位置關(guān)系（平行和垂直）的判定定理、性質(zhì)定理、定義及幾何特征是解答本題的關(guān)鍵．