Question

已知直線l：x-y+10=0，求雙曲線

x2

4

-

y2

3

=1右支上的點(diǎn)到直線的距離的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：由直線l的方程與雙曲線的方程可以知道，直線l與雙曲線的右支不相交，將直線l：x-y+10=0平移，使得其與雙曲線的右支相切，則可知切線與直線l的距離最小，
設(shè)直線m平行于直線l，則直線m的方程可以寫成x-y+k=0與雙曲線方程聯(lián)立，利用判別式為0可求解．

解答： 解：由直線l的方程與雙曲線的方程可以知道，直線l與雙曲線的右支不相交，
設(shè)直線m平行于直線l，則直線m的方程可以寫成x-y+k=0，（1）
由方程組

x2 4 - y2 3 =1 x-y+k=0

，消去y，得x²+8kx+4k²+12=0，（2）
令方程（2）的根的判別式△=0，得64k²-4×（4k²+12）=0，（3）
解方程（3）得k₁=1或k₂=-1，
∴當(dāng)k₂=-1時(shí)，直線m與雙曲線右支的交點(diǎn)到直線l的距離最近，此時(shí)直線m的方程為x-y-1=0，
直線m與直線l間的距離d=

|10+1|

2

=

11 2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和雙曲線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將直線l：x-y+10=0平移，使得其與雙曲線的右支相切，屬中檔題．