Question

已知函數(shù)f（x）=a-在R上是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）判斷并證明f（x）在R上的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直接根據(jù)定義在R上的奇函數(shù)滿足f（0）=0，即可求出a的值；
（Ⅱ）直接根據(jù)單調(diào)性的定義證明即可．
解答：（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）∵f（x）=a-在R上是奇函數(shù)
∴f（0）=0，…（2分）
即a-=0
∴a=1，此時(shí)f（x）=1-…（4分）
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=1時(shí)，f（-x）=-f（x），即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)
∴a=1…（6分）
（Ⅱ）f（x）在R上是增函數(shù)，證明如下
∵f（x）=1-
任取x₁，x₂∈R，，且x₁＜x₂…（7分）
則f（x₁）-f（x₂）=…（10分）
∵x₁＜x₂
∴，（）（）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上是增函數(shù)．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合．解決本題第一問(wèn)的關(guān)鍵在于根據(jù)定義在R上的奇函數(shù)滿足f（0）=0，求出a的值．