【題目】如圖，底面是等腰梯形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，以為邊作正方形，且平面平面.

（1）證明：平面平面.

（2）求二面角的正弦值．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）先證明四邊形是菱形,進(jìn)而可知,然后可得到平面,即可證明平面平面;

（2）記AC,BE的交點(diǎn)為O,再取FG的中點(diǎn)P.以O為坐標(biāo)原點(diǎn),以射線OB,OC,OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面ABF和DBF的法向量,然后由,可求出二面角的余弦值,進(jìn)而可求出二面角的正弦值.

（1）證明：因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn),,所以,

因?yàn)?/span>,所以,所以四邊形是平行四邊形,

因?yàn)?/span>,所以平行四邊形是菱形,所以,

因?yàn)槠矫?/span>平面,且平面平面,所以平面.

因?yàn)?/span>平面,所以平面平面.

（2）記AC,BE的交點(diǎn)為O,再取FG的中點(diǎn)P.由題意可知AC,BE,OP兩兩垂直,故以O為坐標(biāo)原點(diǎn),以射線OB,OC,OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)榈酌?/span>ABCD是等腰梯形,,所以四邊形ABCE是菱形，且,

所以,

則,設(shè)平面ABF的法向量為,

則,不妨取,則,

設(shè)平面DBF的法向量為,

則,不妨取,則,

故.

記二面角的大小為,故.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，其中為常數(shù)；

（1）若，且是奇函數(shù)，求的值；

（2）若， ，函數(shù)的最小值是，求的最大值；

（3）若，在上存在個(gè)點(diǎn) ，滿足， ，

，使得，

求實(shí)數(shù)的取值范圍；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(2)證明：在區(qū)間上有且僅有個(gè)零點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知設(shè)函數(shù).

（1）若，求極值；

（2）證明：當(dāng)，時(shí)，函數(shù)在上存在零點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

(1)若，，求的單凋區(qū)間；

(2)若函數(shù)是函數(shù)的圖像的切線，求的最小值；

(3)求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，且為等邊三角形，若四棱錐的體積與四棱錐外接球的表面積大小之比為，則四棱錐的表面積為___________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其圖象與軸交于不同兩點(diǎn)，，且.

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為．

求直線l的普通方程及曲線C的直角坐標(biāo)方程；

若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離．

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【題目】橢圓（）的離心率是，點(diǎn)在短軸上，且。

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（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于兩點(diǎn)。是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

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