Question

如果函數(shù)f（x）的定義域為{x|x＞0}，且f（x）為增函數(shù)，f（x•y）=f（x）+f（y）．
（I）求f（1）的值；
（II）求證：f(

x

y

)=f(x)-f(y)；
（Ⅲ）已知f（3）=1，且f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)函數(shù)f（x）的定義域為{x|x＞0}，f（x•y）=f（x）+f（y），取x=y=1，可求出f（1）的值；
（II）結(jié)合抽象表達式用

x

y

代替x，y不變，即可化簡變形得到f（

x

y

）=f（x）-f（y）；
（III）首先求得2=f（9），進而對不等式進行轉(zhuǎn)化，然后結(jié)合函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)性，結(jié)合變形后的抽象函數(shù)即可獲得變量a的滿足的條件，解之即可求出a的取值范圍．

解答：解：（I）f（x•y）=f（x）+f（y）令x=y=1
則f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0
（II）∵對一切x，y＞0滿足f（x）+f（y）=f（x•y），
∴f（

x

y

）+f（y）=f（

x

y

×y）=f（x）
因此，滿足 f（

x

y

）=f（x）-f（y），
（III）∵f（3）=1，∴2=f（3）+f（3）=f（9）；
∵f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴f（a）＞f（a-1）+2，則f（a）＞f（a-1）+f（9）=f[（a-1）•9]
∴

a-1＞0 a＞0 (a-1)•9＜a

解得：1＜a＜

9

8

，
故a的取值范圍（1，

9

8

）

點評：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應用的綜合類問題，同時考查了特值的思想、轉(zhuǎn)化的思想以及計算和解不等式組的能力，屬于中檔題．