已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+
a-3
2
x2+(a2-3a)x-2a．
（I）如果對任意x∈[1，2]，f′（x）＞a2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（II）設(shè)函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x1，x2判斷下列三個(gè)代數(shù)式：①x1+x2+a，②
x21
+
x22
+a2，③
x31
+
x32
+a3
中有幾個(gè)為定值？并且是定值請求出；若不是定值，請把不是定值的表示為函數(shù)g（a），并求出g（a）的最小值．
（I）由f(x)=
1
3
x3+
a-3
2
x2+(a2-3a)x-2a．
得f'（x）=x2+（a-3）x+a2-3a，對任意x∈[1，2]，f'（x）＞a2恒成立，
即x2+（a-3）x-3a＞0，（x-3）（x+a）＞0對任意x∈[1，2]恒成立，
又x-3＜0恒成立，所以x+a＜0對x∈[1，2]恒成立，所以a＜-x恒成立，
所以a＜-2．…（4分）
（II）依題意知x1，x2恰為方程f'（x）=x2+（a-3）x+a2-3a=0的兩根，
所以
(a-3)2-4(a2-3a)＞0
x1+x2=3-a
x1x2=a2-3a
解得-1＜a＜3…（5分）
所以①x1+x2+a=3為定值，…（6分）
②
x21
+
x22
+a2=(x1+x2)2-2x1x2+a2=9為定值，…（7分）
③
x31
+
x32
+a3=(x1+x2)(
x21
-x1x2+
x22
)+a3=3a3-9a2+27不是定值
即g（a）=3a3-9a2+27（-1＜a＜3），可得g'（a）=9a2-18a，
當(dāng)a∈[-1，0]時(shí)，g'（a）＞0，g（a）=3a3-9a2+27在a∈[-1，0]是增函數(shù)，
當(dāng)a∈[0，2]時(shí)，g'（a）＜0，g（a）=3a3-9a2+27在a∈[-1，0]是減函數(shù)，
當(dāng)a∈[2，3]時(shí)，g'（a）＞0，g（a）=3a3-9a2+27在a∈[2，3]是增函數(shù)，
因此，g（a）在（-1，3）上的最小值是g（-1）與g（2）中較小的一個(gè)，
又∵g（-1）=15；g（2）=15
∴g（a）=3a3-9a2+27（-1＜a＜3）的最小值為15（a=2時(shí)取到）．…（12分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個(gè)函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時(shí)滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案