Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

a-3

2

x²+（a²-3a）x-2a
（1）如果對(duì)任意x∈（1，2]，f'（x）＞a²恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)實(shí)數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x₁x₂判斷①x₁+x₂+a②x₁²+x₂²+a²③x₁³+x₂³+a³是否為定值？若是定值請(qǐng)求出；若不是定值，請(qǐng)把不是定值的表示為函數(shù)g（a）并求出g（a）的最小值；
（3）對(duì)于（2）中的g（a），設(shè)H（x）=

1

9

[g（x）-27]，m，n∈（0，1）且m≠n，試比較|H（m）-H（n）|與|e^m-eⁿ|（e為自然對(duì)數(shù)的底）的大小，并證明．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

a-3

2

x²+（a²-3a）x-2a，可求出f'（x）的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得對(duì)任意x∈（1，2]，f'（x）＞a²恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）由（1）中f'（x）的解析式，可求出x₁x₂，進(jìn)而判斷出①x₁+x₂+a②x₁²+x₂²+a²③x₁³+x₂³+a³是否為定值及函數(shù)g（a）的解析式，及g（a）的最小值；
（3）根據(jù)（2）中g(shù)（a）的解析式，我們可以求出H（x）=

1

9

[g（x）-27]的解析式，構(gòu)造函數(shù)F（x）=H（x）-e^x，利用導(dǎo)數(shù)法，可判斷出F（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性，進(jìn)而判斷出當(dāng)m，n∈（0，1）且m≠n時(shí)，|H（m）-H（n）|與|e^m-eⁿ|的大�。�

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

a-3

2

x²+（a²-3a）x-2a
∴函數(shù)f′（x）=x²+（a-3）x+（a²-3a）
則f′（x）-a²=x²+（a-3）x-3a=（x+a）（x-3）
若對(duì)任意x∈（1，2]，f'（x）＞a²恒成立，
則對(duì)任意x∈（1，2]，f′（x）-a²＞0恒成立
則a＜-2．
（2）令f′（x）=0
則x=3或x=-a
則①x₁+x₂+a=3為定值；
②x₁²+x₂²+a²=2a²+9不為定值；
此時(shí)g（a）=2a²+9，當(dāng)a=0時(shí)有最小值9；
③x₁³+x₂³+a³=27為定值；
（3）∵g（a）=2a²+9，
∴H（x）=

1

9

[g（x）-27]=

1

9

（2x²-18），
令F（x）=H（x）-e^x=

1

9

（2x²-18）-e^x，
則F′（x）=

4

9

x-e^x，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0恒成立
即F（x）在區(qū)間（0，1）上為減函數(shù)
當(dāng)m，n∈（0，1）且m≠n時(shí)，不妨令m＞n
則F（m）-F（n）=[H（m）-e^m]-[H（n）-eⁿ]＜0
即[H（m）-e^m]＜[H（n）-eⁿ]
即H（m）-H（m）＜e^m-eⁿ，
即|H（m）-H（n）|＜|e^m-eⁿ|

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，函數(shù)恒成立問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，其中（1）的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，（2）的關(guān)鍵是求出f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x₁x₂，（3）的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)F（x）=H（x）-e^x，并利用導(dǎo)數(shù)法判斷出F（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性．