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【題目】如圖，四棱錐中，底面四邊形是直角梯形，底面，，，，，為的中點.

（1）求證：平面；

（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析，（2）.

【解析】

（1）首先利用條件證明，然后結合即可證明平面

（2）由平面可得是直線與平面所成的角，然后算出，然后以點為原點，分別以的方向為軸軸軸的正方向建立空間直角坐標系，算出平面的法向量即可.

（1）證明：因為，，所以.

又因為，所以是等腰直角三角形，

所以，.

又因為，，

所以，即.

因為底面，平面，所以.

又，所以平面.

（2）在中， ，，所以.

由（1）知，平面，

所以是直線與平面所成的角，則.

在中， ，

所以.

以點為原點，分別以的方向為軸軸軸的正方向建立空間直角坐標系.

則.

因為為的中點，所以，

所以.

設平面法向量為，

則 即

令，得.所以.

由平面，則為平面的一個法向量.

所以.

故所求二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，平面α∩平面β＝l，A，C是α內不同的兩點，B，D是β內不同的兩點，且A，B，C，D直線l，M，N分別是線段AB，CD的中點．下列判斷正確的是（　�。�

A.若ABCD，則MNl

B.若M，N重合，則ACl

C.若AB與CD相交，且ACl，則BD可以與l相交

D.若AB與CD是異面直線，則MN不可能與l平行

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為進一步深化“平安校園”創(chuàng)建活動，加強校園安全教育宣傳，某高中對該校學生進行了安全教育知識測試（滿分100分），并從中隨機抽取了200名學生的成績，經過數據分析得到如圖1所示的頻數分布表，并繪制了得分在以及的莖葉圖，分別如圖23所示．

成績

頻數

5

30

40

50

45

20

10

圖1

（1）求這200名同學得分的平均數；（同組數據用區(qū)間中點值作代表）

（2）如果變量滿足且，則稱變量“近似滿足正態(tài)分布的概率分布”．經計算知樣本方差為210，現在取和分別為樣本平均數和方差，以樣本估計總體，將頻率視為概率，如果該校學生的得分“近似滿足正態(tài)分布的概率分布”，則認為該校的校園安全教育是成功的，否則視為不成功．試判斷該校的安全教育是否成功，并說明理由．

（3）學校決定對90分及以上的同學進行獎勵，為了體現趣味性，采用抽獎的方式進行，其中得分不低于94的同學有兩次抽獎機會，低于94的同學只有一次抽獎機會，每次抽獎的獎金及對應的概率分別為：

獎金

50

100

概率

現在從不低于90同學中隨機選一名同學，記其獲獎金額為，以樣本估計總體，將頻率視為概率，求的分布列和數學期望．

（參考數據：）

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：，圓：，一動圓在軸右側與軸相切，同時與圓相外切，此動圓的圓心軌跡為曲線，橢圓與曲線有相同的焦點.

（1）求曲線的方程；

（2）設曲線與橢圓相交于第一象限點，且，求橢圓的標準方程；

（3）在（2）的條件下，如果橢圓的左頂點為，過且垂直于軸的直線與橢圓交于，兩點，直線，與直線：分別交于，兩點，證明：四邊形的對角線的交點是橢圓的右頂點.

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【題目】如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，，，側面SAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，且平面平面ABCD，M，N分別為AD，SC的中點．

（1）求證：平面SAB．

（2）求直線BN與平面SAB所成角的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的四個頂點圍成的菱形的面積為，橢圓的一個焦點為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若，為橢圓上的兩個動點，直線，的斜率分別為，，當時，的面積是否為定值？若為定值，求出此定值；若不為定值，說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知過拋物線y2＝4x焦點F的直線l交拋物線于A、B兩點（點A在第一象限），若3，則直線l的斜率為（ ）

A.2B.C.D.

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【題目】隨著疫情的有效控制，人們的生產生活逐漸向正常秩序恢復，位于我區(qū)的某著名賞花園區(qū)重新開放.據統(tǒng)計硏究，近期每天賞花的人數大致符合以下數學模型.以表示第個時刻進入園區(qū)的人數，以表示第個時刻離開園區(qū)的人數，設定每15分鐘為一個計算單位，上午8點15分作為第1個計算人數單位，即點30分作為第2個計算單位，即：依次類推，把一天內從上午8點到下午5點分成36個計算單位（最后結果四舍五入，精確到整數）

（1）試分別計算當天12：30至13：30這一小時內，進入園區(qū)的人數和離開園區(qū)的游客人數.

（2）請問，從12點（即）開始，園區(qū)內總人數何時達到最多？并說明理由

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【題目】2020年初，一場新冠肺炎疫情突如其來，在黨中央強有力的領導下，全國各地的醫(yī)務工作者迅速馳援湖北，以大無畏的精神沖在了抗擊疫情的第一線，迅速控制住疫情．但國外疫情嚴峻，輸入性病例逐漸增多，為了鞏固我國的抗疫成果，保護國家和人民群眾的生命安全，我國三家生物高科技公司各自組成A、B、C三個科研團隊進行加急疫苗研究，其研究方向分別是滅活疫苗、核酸疫苗和全病毒疫苗，根據這三家的科技實力和組成的團隊成員，專家預測這A、B、C三個團隊未來六個月中研究出合格疫苗并用于臨床接種的概率分別為，，，且三個團隊是否研究出合格疫苗相互獨立．

（1）求六個月后A，B兩個團隊恰有一個研究出合格疫苗并用于臨床接種的概率；

（2）設六個月后研究出合格疫苗并用于臨床接種的團隊個數為X，求X的分布列和數學期望．

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