Question

【題目】已知橢圓的離心率為，，，，的面積為．

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)右焦點(diǎn)作與軸不重合的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，連接，分別交直線于，，兩點(diǎn)，若直線，的斜率分別為，，試問(wèn)：是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）為定值，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）結(jié)合橢圓離心率、的面積、列方程組，解方程組求得，由此求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求得直線的方程，進(jìn)而求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求得，，求得.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達(dá)定理，求得直線的方程，進(jìn)而求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求得，，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算.由此證得為定值.

（1）由題意得，

解得，

所以橢圓的方程為.

（2）由（1）知，，

①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，

聯(lián)立，得，

不防設(shè)，，

則直線方程為，

令，得，則，

此時(shí)，，

同理，

所以，

②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，

聯(lián)立，得，

設(shè)，，

則，，

直線方程為，

令，得，則，

同理，

所以，，

所以

綜上所述，為定值.