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已知平面內三點A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），若
AC
•
BC
=-1，求
2sin2α+sin2α
1+tanα
的值．
考點：平面向量數量積的運算,同角三角函數基本關系的運用
專題：計算題,三角函數的求值,平面向量及應用
分析：運用向量的數量積的坐標運算和同角的平方關系，可得2sinαcosα=-
5
9
，再由二倍角正弦公式和同角的平方關系以及商數關系，將所求式化簡整理即可得到．
解答： 解：由A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），
則
AC
=（cosα-3，sinα），
BC
=（cosα，sinα-3），
若
AC
•
BC
=-1，則cosα（cosα-3）+sinα（sinα-3）=-1，
即cos2α+sin2α-3（sinα+cosα）=-1，
即sinα+cosα=
2
3
，
兩邊平方，可得sin2α+cos2α+2sinαcosα=
4
9
，
即2sinαcosα=
4
9
-1=-
5
9
，
則
2sin2α+sin2α
1+tanα
=
2sin2α+2sinαcosα
1+
sinα
cosα

=
2sinαcosα(sinα+cosα)
cosα+sinα
=2sinαcosα=-
5
9
．
點評：本題考查向量的數量積的坐標表示，主要考查二倍角的正弦公式以及同角的平方關系和商數關系，考查運算能力，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

計算下列各式
（1）2cos
π
2
+sin0-4sin
3π
2
+cosπ；
（2）3cos0-tanπ+sin
π
2
-2cos
3π
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知|
a
|=4，|
b
|=8，
a
與
b
的夾角是120°
（1）計算|
a
+
b
|，|4
a
-2
b
|；
（2）當k為何值時，（
a
+2
b
）⊥（k
a
-
b
）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知一點A和平面a，求證：經過點A只能有一條直線和平面a垂直．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=m•9x-3x，若存在非零實數x0，使得f（-x0）=f（x0）成立，則實數m的取值范圍是（　�。�
A、m≥
1
2
B、0＜m＜
1
2
C、0＜m＜2
D、m≥2

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科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，頂點B（-1，0），C（1，0），G，I分別是△ABC的重心和內心，且
IG
∥
BC
．
（1）求頂點A的軌跡M的方程；
（2）過點C的直線交曲線M于P，Q兩點，H是直線x=4上一點，設直線CH，PH，QH的斜率為k1，k2，k3，試比較2k1與k2+k3的大小，并加以說明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

動點M（t，0），t∈[2，4]到雙曲線x2-y2=a2，a＞0上所有點的距離的最小值恒在右頂點處達到，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知|
a
|=1，|
b
|=2，＜
a
，
b
＞=60°，則|
a
-2
b
|=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．
（Ⅰ） 證明：AB⊥平面VAD；
（Ⅱ）求二面角A-VD-B的余弦值．

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