已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的離心率e=
1
2
．直線x=t（t＞0）與曲線 E交于不同的兩點(diǎn)M，N，以線段MN 為直徑作圓 C，圓心為 C．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若圓C與y軸相交于不同的兩點(diǎn)A，B，求△ABC的面積的最大值．
（1）∵橢圓E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的離心率e=
1
2
，
∴
a2-3
a
=
1
2
，解得a=2．
∴橢圓E的方程為
x2
4
+
y2
3
=1；
（2）依題意，圓心C（t，0）（0＜t＜2）．
由
x=t
x2
4
+
y2
3
=1
，得y2=
12-3t2
4
．
∴圓C的半徑為r=
12-3t2
2
．
∵圓C與y軸相交于不同的兩點(diǎn)A，B，且圓心C到y(tǒng)軸的距離d=t，
∴0＜t＜
12-3t2
2
，即0＜t＜
2
21
7
．
∴弦長|AB|=2
r2-d2
=2
12-3t2
4
-t2
=
12-7t2
．
∴△ABC的面積S=
1
2
•t•
12-7t2
=
1
2
7
×(
7
t)•
12-7t2

≤
1
2
7
×
(
7
t)2+12t-7t2
2
=
3
7
7
．
當(dāng)且僅當(dāng)
7
t=
12-7t2
，即t=
42
7
時(shí)等號(hào)成立．
所以△ABC的面積的最大值為
3
7
7
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知雙曲線中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,且焦距與虛軸長之比為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是____________________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）
已知橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為4，直線為該橢圓的一條準(zhǔn)線.
1)求橢圓C的方程；
2）設(shè)直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)且(其中為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線的斜率的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，有一正方形鋼板ABCD缺損一角（圖中的陰影部分），邊緣線OC是以直線AD為對(duì)稱軸，以線段AD的中點(diǎn)O為頂點(diǎn)的拋物線的一部分．工人師傅要將缺損一角切割下來，使剩余的部分成為一個(gè)直角梯形．若正方形的邊長為2米，問如何畫切割線EF，可使剩余的直角梯形的面積最大？并求其最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知點(diǎn)（1，1）是橢圓
x2
4
+
y2
2
=1某條弦的中點(diǎn)，則此弦所在的直線方程為：______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，離心率為
3
2
，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1；
（Ⅰ）求橢圓C的方程．
（Ⅱ）若A，B，C是橢圓上的三個(gè)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)B是橢圓C的右頂點(diǎn)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求此菱形的面積．
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)p是橢圓C上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PF1、PF2，設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交橢圓C的長軸于點(diǎn)M（m，0），求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知B（-1，1）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，且點(diǎn)B到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為4；
（1）求橢圓方程；
（2）設(shè)A為橢圓的左頂點(diǎn)，直線AB交y軸于點(diǎn)C，過C作斜率為k的直線l交橢圓于D，E兩點(diǎn)，若
S△CBD
S△CAE
=
1
6
，求實(shí)數(shù)k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知點(diǎn)B（0，1），A，C為橢圓C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）上的兩點(diǎn)，△ABC是以B為直角頂點(diǎn)的直角三角形．
（1）△ABC能否為等腰三角形？若能，這樣的三角形有幾個(gè)？
（2）當(dāng)a=2時(shí)，求線段AC的中垂線l在x軸上截距的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則的值為（ ）
A．B．2 C．D．4

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同步練習(xí)冊(cè)答案