在平面直角坐標系中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右頂點為A、B，直線l1、l2分別過點A、B且與x軸垂直，點（1，e）和（2，0）均在橢圓上，其中e為橢圓C的離心率．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點P是橢圓C上不同于點A、B的任意一點，直線AP與l2交于點D，直線BP與l1于點E，線段OD和OE分別與橢圓交于點R，G．
（�。┦欠翊嬖诙▓A與直線DE相切？若存在，求出該定圓的方程；若不存在，請說明理由；
（ⅱ）求證：
1
OG2
+
1
OR2
為定值．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）由已知條件推導出
1
a2
+
c2
a2b2
=1
a=2
，由此能求出橢圓C的方程．
（2）（�。┰O點P（m，n），則
m2
4
+n2=1(m≠±2)，由已知條件求出直線DE的方程為(
n
m+2
+
n
m-2
)x-y+
2n
m+2
-
2n
m-2
=0，由此能證明定圓x2+y2=4與DE相切．
（ⅱ）由已知條件得OD⊥OE，設OG的斜率是k，則由y=kx與x2+4y2=4聯(lián)立得到（1+4k2）x2=4，由此能證明
1
OG2
+
1
OR2
=
5
4
為定值．
解答： （1）解：橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），點（1，e）和（2，0）均在橢圓上，
∴
1
a2
+
c2
a2b2
=1
a=2
，解得b=1，
∴橢圓C的方程為
x2
4
+y2=1．…（2分）
（2）（�。┙猓捍嬖诙▓Ax2+y2=4與DE相切，證明如下．
設點P（m，n），則
m2
4
+n2=1(m≠±2)．…（3分）
直線AD的斜率為
n
m+2
，直線AD的方程為y=
n
m+2
(x+2)，
令x=2，得D點坐標為(2，
4n
m+2
)．…（4分）
直線BE的斜率為
n
m-2
，直線BE的方程為y=
n
m-2
(x-2)，
令x=-2，得E點坐標為(-2，-
4n
m-2
)．…（5分）
由此可得直線DE的方程為(
n
m+2
+
n
m-2
)x-y+
2n
m+2
-
2n
m-2
=0
原點O到直線DE的距離：
d=
|
2n
m+2
-
2n
m-2
|
(
n
m+2
+
n
m-2
)2+1
=
|
8n
m2-4
|
(
2mn
m2-4
)2+1

=
|
8n
-4n2
|
(
2mn
-4n2
)2+1
=
|
2
n
|
(
m
2n
)2+1

=
|
2
n
|
m2+4n2
4n2
=
|
2
n
|
4
4n2
=2，
∴定圓x2+y2=4與DE相切．…（8分）
（ⅱ）證明：∵kOD•kOE=
2n
m+2
•
2n
m-2
=
4n2
m2-4
=-1，
∴OD⊥OE，…（9分）
設OG的斜率是k，則由y=kx與x2+4y2=4聯(lián)立得到（1+4k2）x2=4，
∴
1
OG2
=
1
(1+k2)x2
=
1+4k2
4(1+k2)
．…（11分）
用-
1
k
代替k，得
1
OR2
=
1+
4
k2
4(1+
1
k2
)
=
k2+4
4(1+k2)
，…（12分）
∴
1
OG2
+
1
OR2
=
5
4
．
∴
1
OG2
+
1
OR2
為定值．…（13分）
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查定圓與直線相切的判斷與定圓方程的求法，考查兩數(shù)和為定值的證明，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．
練習冊系列答案
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5
8
，求n的值．

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輛．

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．

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種．

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