Question

橢圓的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為．
(1) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2) 若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)(不是左右頂點(diǎn))，且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）；（2）證明詳見解析，.

試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓相交問題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問，利用橢圓的離心率和左焦點(diǎn)到點(diǎn)P的距離列出方程組，解出基本量a，b，c，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，用直線與橢圓聯(lián)立，消參得到關(guān)于x的方程，利用韋達(dá)定理得到和，由于AB為直徑的圓過橢圓右頂點(diǎn) A₂(2,0) ，所以，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，將前面的式子都代入，得到 或 m = －2k，經(jīng)驗(yàn)證都符合題意，則分別求出定點(diǎn)坐標(biāo)，再驗(yàn)證，最終得到結(jié)論.
試題解析：（1）由題： ①
左焦點(diǎn) (－c,0) 到點(diǎn) P(2,1) 的距離為：②               2分
由①②可解得c =" 1" ， a =" 2" ， b ² = a ²－c ² = 3．                               3分   
∴所求橢圓 C 的方程為．               4分
（2）設(shè) A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，將 y =" kx" + m代入橢圓方程得
(4k ² + 3) x ² + 8kmx + 4m ²－12 = 0．
∴，，           6分
且y₁ = kx₁ + m，y₂ = kx₂ + m．
∵AB為直徑的圓過橢圓右頂點(diǎn) A₂(2,0) ，所以．              7分
所以 (x₁－2,y₁)·(x₂－2,y₂) = (x₁－2) (x₂－2) + y₁y₂ = (x₁－2) (x₂－2) + (kx₁ + m) (kx₂ + m)
= (k ² + 1) x₁x₂ + (km－2) (x₁ + x₂) + m ² + 4
= (k ² + 1)·－(km－2)·+ m ² + 4 =" 0" ．                        10分
整理得 7m ² + 16km + 4k ² = 0．∴ 或 m = －2k 都滿足 △ > 0．         12分
若 m = －2k 時(shí)，直線 l 為 y = kx－2k =" k" (x－2) ，恒過定點(diǎn) A₂(2,0)，不合題意舍去；   13分
若時(shí)，直線 l 為， 恒過定點(diǎn)  ．          14分