Question

如圖，F(xiàn)是中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的右焦點(diǎn)，直線l：x＝4是橢圓C的右準(zhǔn)線，F(xiàn)到直線l的距離等于3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點(diǎn)P是橢圓C上動(dòng)點(diǎn)，PM⊥l，垂足為M．是否存在點(diǎn)P，使得△FPM為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）；（2）P(，±).

試題分析：（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，一般利用待定系數(shù)法，利用兩個(gè)獨(dú)立條件確定a,b的值. 設(shè)橢圓C的方程為，由已知，得，∴∴b＝．所以橢圓C的方程為．（2）等腰三角形這個(gè)條件，是不確定的，首先需要確定腰. 由＝e＝，得PF＝PM．∴PF≠PM．若PF＝FM，則PF＋FM＝PM，與“三角形兩邊之和大于第三邊”矛盾，∴PF不可能與FM相等．因此只有FM＝PM，然后結(jié)合點(diǎn)在橢圓上條件進(jìn)行列方程求解：設(shè)P(x，y)(x≠±2)，則M(4，y)．∴＝4－x，
∴9＋y²＝16－8x＋x²，又由，得y²＝3－x²．∴9＋3－x²＝16－8x＋x²，∴x²－8x＋4＝0．∴7x²－32x＋16＝0．∴x＝或x＝4．∵x∈(－2，2)，∴x＝．∴P(，±)．綜上，存在點(diǎn)P(，±)，使得△PFM為等腰三角形．
試題解析：解：（1）設(shè)橢圓C的方程為
由已知，得，∴，∴b＝．所以橢圓C的方程為
（2）由＝e＝，得PF＝PM．∴PF≠PM．
①若PF＝FM，則PF＋FM＝PM，與“三角形兩邊之和大于第三邊”矛盾，
∴PF不可能與FM 相等．
②若FM＝PM，設(shè)P(x，y)(x≠±2)，則M(4，y)．∴＝4－x，
∴9＋y²＝16－8x＋x²，又由，得y²＝3－x²．∴9＋3－x²＝16－8x＋x²，
∴x²－8x＋4＝0．∴7x²－32x＋16＝0．∴x＝或x＝4．∵x∈(－2，2)，∴x＝．
∴P(，±)．綜上，存在點(diǎn)P(，±)，使得△PFM為等腰三角形．