Question

【題目】如圖，已知在長(zhǎng)方體中，，，，點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)，給出下列命題：

①四棱錐的體積為20；

②存在唯一的點(diǎn)，使截面四邊形的周長(zhǎng)取得最小值；

③當(dāng)點(diǎn)不與，重合時(shí)，在棱上均存在點(diǎn)，使得平面；

④存在唯一的點(diǎn)，使得平面，且．

其中正確的命題是_____（填寫所有正確的序號(hào)）

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

由題意逐個(gè)討論所給的命題，判斷它們的真假．

解：①由題意可得，

，所以①正確；

②將長(zhǎng)方體展開(kāi)，如圖所示，恰好過(guò)點(diǎn)時(shí)，截面的周長(zhǎng)為，

而在中，，所以最小值為，

由面面平行的性質(zhì)，可得四邊形為平行四邊形，且為展開(kāi)圖中唯一的點(diǎn)，所以②正確；

③點(diǎn)不與，重合，則不會(huì)為，即不在面內(nèi)，

可作出的平面與平行，所以在棱上均有相應(yīng)的，使得面，故③正確；

④因?yàn)?/span>，可得對(duì)角面為正方形，可得，

若時(shí)，由三垂線定理可得，即有面，

矩形中，，所以，所以，故④正確

綜上可得：正確為①②③④.

故答案為：①②③④.