Question

【題目】已知函數(shù).

（1）已知直線：，：若直線與關(guān)于對(duì)稱(chēng)，又函數(shù)在處的切線與平行，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若，證明：當(dāng)時(shí)，恒成立.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）首先利用直線一定過(guò)與的交點(diǎn)，再利用直線上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)都在直線上，之后應(yīng)用兩點(diǎn)是式求得直線的方程，求得其斜率，即為函數(shù)的值，從而求得結(jié)果；

（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而證得結(jié)果.

（1）由解得

必過(guò)與的交點(diǎn).

在上取點(diǎn)，易得點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，

即為直線，所以的方程為，

即，其斜率為.

又，

所以函數(shù)在處的切線的斜率為，

由題意可得，解得.

（2）法一：因?yàn)?/span>

所以，

①若，.∴在上單調(diào)遞減.

②若，當(dāng)，或時(shí)，時(shí)，

當(dāng)時(shí)，.

∴在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

所以，又

所以，當(dāng)時(shí)，恒成立.

法二：要證，即證，

因?yàn)?/span>，即證.

∵，∴.

設(shè)，則.

設(shè)，則，

在上，恒成立.

∴在上單調(diào)遞增.

又∵，∴時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞增，

∴，∴，，

所以，

所以在上恒成立.

即當(dāng)時(shí)，恒成立.

綜上，當(dāng)時(shí)，恒成立.