Question

如圖，正方形ABCD與梯形CDEF所在的平面互相垂直，CD⊥DE，CF∥DE，CD=CF=2，DE=4，G為AE的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：FG∥平面ABCD；
（Ⅱ）求證：平面FAD⊥平面FAE；
（Ⅲ）求平面FAE與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（I）取DA中點(diǎn)N，連接GN，CN，由三角形中位線定理，結(jié)合已知中CF∥DE，CF=2，DE=4，易得四邊形GFCN為平行四邊形，所以FG∥CN，再由線面平面的判定定理，可得FG∥平面ABCD；
（II）由已知中正方形ABCD與梯形CDEF所在的平面互相垂直，易得AD⊥平面CDEF，進(jìn)而AD⊥EF，再證明EF⊥DF，由線面垂直的判定定理可得EF⊥平面ADF，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面FAD⊥平面FAE；
（III）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DE所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面FAE與平面ABCD的法向量，代入向量夾角公式，即可求出平面FAE與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．

解答： （I）證明：取DA中點(diǎn)N，連接GN，CN
在△EAB中，G、N分別為EA，AD的中點(diǎn)，
∴GN∥EB，且GN=

1

2

EB．
由已知CF∥DE，CF=2，DE=4，
∴CF∥EB，且CF=

1

2

EB．
∴CF∥GN且CF=GN，
∴四邊形GFCN為平行四邊形，
∴FG∥CN，
∵CN?平面ABCD，且FG?平面ABCD，
∴FG∥平面ABCD；
（II）證明：在正方形ADEF中，AD⊥CD，
又∵平面CDEF⊥平面ABCD，且平面CDEF∩平面ABCD=CD，
∴AD⊥平面CDEF，
∴AD⊥EF．
在直角梯形CDEF中，CD=CF=2，DE=4，可得DF=2

2

在△DEF中，EF=DF=2

2

，DE=4，
∴EF⊥DF．
∵AD∩DF=D
∴EF⊥平面ADF，
∵EF?平面AEF，
∴平面FAD⊥平面FAE；
（Ⅲ）解：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DE所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
則平面ABCD的一個(gè)法向量為

m

=（0，0，4）．
設(shè)平面FAE的一個(gè)法向量為

n

=（x，y，z），則
∵

DF

=（0，2，2），

DA

=（2，0，0），
∴

2y+2z=0 2x=0

，
∴可取

n

=（0，1，-1）．
設(shè)平面BEC與平面ADEF所成銳二面角為θ，
則cosθ=|

m • n

| m || n |

|=

2

2

，
∴平面FAE與平面ABCD所成銳二面角的余弦值為

2

2

．

點(diǎn)評：本題考查二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定，熟練掌握空間直線與平面不同位置關(guān)系（平行和垂直）的判定定理、性質(zhì)定理、定義及幾何特征是解答本題的關(guān)鍵．