Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx+c在點(diǎn)x=2處取得極值c-16．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若f（x）有極大值28，求f（x）在[-3，3]上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設(shè)f（x）=ax³+bx+c，可得f′（x）=3ax²+b，又函數(shù)在點(diǎn)x=2處取得極值c-16，可得解此方程組即可得出a，b的值；
（II）結(jié)合（I）判斷出f（x）有極大值，利用f（x）有極大值28建立方程求出參數(shù)c的值，進(jìn)而可求出函數(shù)f（x）在[-3，3]上的極小值與兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值，比較這此值得出f（x）在[-3，3]上的最小值即可．
解答：解：（Ⅰ）由題f（x）=ax³+bx+c，可得f′（x）=3ax²+b，又函數(shù)在點(diǎn)x=2處取得極值c-16
∴，即，化簡(jiǎn)得
解得a=1，b=-12
（II）由（I）知f（x）=x³-12x+c，f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2）
令f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2）=0，解得x₁=-2，x₂=2
當(dāng)x∈（-∞，-2）時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）在∈（-∞，-2）上為增函數(shù)；當(dāng)x∈（-2，2）時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）在（-2，2）上為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)；
由此可知f（x）在x₁=-2處取得極大值f（-2）=16+c，f（x）在x₂=2處取得極小值f（2）=c-16，
由題設(shè)條件知16+c=28得，c=12
此時(shí)f（-3）=9+c=21，f（3）=-9+c=3，f（2）=-16+c=-4
因此f（x）在[-3，3]上的最小值f（2）=-4
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，解第一小題的關(guān)鍵是理解“函數(shù)在點(diǎn)x=2處取得極值c-16”，將其轉(zhuǎn)化為x=2處的導(dǎo)數(shù)為0與函數(shù)值為c-16兩個(gè)等量關(guān)系，第二小時(shí)解題的關(guān)鍵是根據(jù)極大值為28建立方程求出參數(shù)c的值．本題考查了轉(zhuǎn)化的思想及方程的思想，計(jì)算量大，有一定難度，易因?yàn)椴荒苷�確轉(zhuǎn)化導(dǎo)致無法下手求解及計(jì)算錯(cuò)誤導(dǎo)致解題失敗，做題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真，嚴(yán)防出現(xiàn)在失誤．此類題是高考的常考題，平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)要足夠重視．