Question

【題目】已知函數(shù).

（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（II）若函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線的傾斜角為，問：在什么范圍取值時(shí)，對(duì)于任意的，函數(shù)在區(qū)間上總存在極值？

（III）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上至少存在一個(gè)，使得成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；（II）；（III）.

【解析】

試題分析：（I），當(dāng)時(shí)，由得，由得，當(dāng)時(shí)，由得，由得；（II）由題，即，，此時(shí)，，則，若在區(qū)間上存在極值，則應(yīng)有，又為開口向上的拋物線，且，所以應(yīng)有，于是可以求出的取值范圍；（III）時(shí)，，令，則，然后分，進(jìn)行討論，即可以求出的取值范圍.

試題解析：（I）由知 ……………………………1分

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是， …………………………… 2分

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是， ……………………………3分

（II）由，，

故，

， ……………………………5分

在區(qū)間上總存在極值，

有兩個(gè)不等實(shí)根且至少有一個(gè)在區(qū)間內(nèi)

又是開口向上的二次函數(shù)，且，

由，解得， ……………………………6分

由，

在上單調(diào)遞減，所以，

， ……………………………7分

綜上可得，，

所以當(dāng)在內(nèi)取值時(shí)，對(duì)于任意的，函數(shù)在區(qū)間上總存在極值.

（III），令，則， ……………………………9分

當(dāng)時(shí)，由得，從而，

所以，在上不存在使得； 10分

當(dāng)時(shí)，，

在上恒成立，

故在上單調(diào)遞增.

，

故只要，解得，

綜上所述：的取值范圍是. ……………………………12分