Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC與BD相交于點O，且頂點P在底面上的射影恰為O點，又BO=2，PO=

2

，PB⊥PD．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積．
（2）設(shè)點M在棱PC上，且

PM

MC

=λ，問λ為何值時，PC⊥平面BMD．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由題意分析找到題目中的圖形關(guān)系，找到直角三角形，求邊長OD，確定其體積；
（2）先作出PC⊥平面BMD．后求λ．

解答： 解：（1）設(shè)OD=x，
∵PB⊥PD；
則在Rt△BPD中，BO=2，PO=

2

，PO⊥BD，
則

OD

PD

=

PO

BP

，
即

x

x2+ 2 2

=

2

22+ 2 2

即

x2

x2+2

=

2

6

，
解得，x=1．
則S_ABCD=OB×OD+

1

2

OD²+

1

2

OB²
=2×1+

1

2

×1+

1

2

×2²=4

1

2

．
V_P-ABCD=

1

3

Sh=

1

3

×

9

2

×

2

=

3 2

2

．
（2）∵頂點P在底面上的射影恰為O點，
∴PO⊥平面ABCD，
又∵AC⊥BD，
∴BD⊥平面APC；
∴BD⊥PC，
則由過點B向直線PC作垂線BM交PC于點M，
則PC⊥平面BMD．
則點M即是所求的點．
在△PBC中，PB=

6

，PC=

1+ 2 2

=

3

，BC=

1+22

=

5

；
則cos∠BPC=

BP2+CP2-BC2

2•BP•CP

=

6+3-5

2× 6 × 3

=

2

3

．
PM=PB•cos∠BPC=

2 3

3

，
則MC=

3

3

．
則λ=

PM

MC

=2．
即，當(dāng)λ=2時，PC⊥平面BMD．

點評：本題通過幾何體中垂直分析，進(jìn)行量的運算，作輔助線構(gòu)成垂直，從而證明．是中檔題．