Question

【題目】已知拋物線與

橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)

是的焦點(diǎn)，且.

(1)求與的方程；

(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，在第一象限內(nèi)，橢圓上是否存在點(diǎn)，使過作的垂線交拋物線于，直線交軸于，且?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和的面積；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 見解析

【解析】

（1）利用拋物線的定義求，點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出，的值；
（2）設(shè)出，的方程與橢圓、拋物線分別聯(lián)立，求出的橫坐標(biāo)，利用，即可得出結(jié)論．

（1）由拋物線定義：，所以的方程為，將代入得，即，將代入，得，故方程為.即

（2）由題意：直線的斜率存在且不為0，設(shè)的方程為，由于，則的方程為，由得

由，得，得（舍）或

在第一象限內(nèi)，若滿足的點(diǎn)存在，則，此時(shí)，

設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，由于，

所以，故，即為線段中點(diǎn)，

因此，即，解得，

故存在適合題意的，此時(shí)，

此時(shí) 方程為，即，

點(diǎn)到的距離，，所以