Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）²+blnx，其中b為常數(shù)．
（1）當(dāng)b＞

1

2

時(shí)，判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）的有極值點(diǎn)，求b的取值范圍及f（x）的極值點(diǎn)；
（3）求證對(duì)任意不小于3的正整數(shù)n，不等式

1

n2

＜ln(n+1)-lnn＜

1

n

都成立．

Answer 1

分析：（1）首先函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），然后求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），將f′（x）變形為

2(x- 1 2 )2+b- 1 2

x

，再結(jié)合x(chóng)＞0和b＞

1

2

得f′（x）＞0，可得函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）方程f′(x)=

2x2-2x+b

x

=0在（0，+∞）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，函數(shù)有極值．然后利用根的判別式算得當(dāng)b＜

1

2

時(shí)，函數(shù)存在極值點(diǎn)，最后根據(jù)b≤0和0＜b＜

1

2

兩種情況分別得出函數(shù)的極值點(diǎn)；
（3）由（2）可知當(dāng)b=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=（x-1）²-lnx，利用其單調(diào)性，取自變量x=1+

1

n

，可以證出n≥3時(shí)有l(wèi)n（n+1）-lnn＞

1

n2

成立，再設(shè)出函數(shù)h（x）=（x-1）-lnx，用類似的方法得出n≥3時(shí)ln(n+1)-lnn=ln

n+1

n

＜

1

n

ln(n+1)-lnn=ln(1+ 1 n )＜ 1 n

成立，兩者相結(jié)合可得對(duì)任意不小于3的正整數(shù)n，不等式

1

n2

＜ln(n+1)-lnn＜

1

n

都成立．

解答：解：（1）由題意知，f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′(x)=2x-2+

b

x

=

2x2-2x+b

x

=

2(x- 1 2 )2+b- 1 2

x

(x＞0)
∴當(dāng)b＞

1

2

時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）①由（Ⅰ）得，當(dāng)b＞

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在定義域上無(wú)極值點(diǎn)．
②b=

1

2

時(shí)，f′(x)=

(2x-1)2

2x

=0有兩個(gè)相同的解x=

1

2

，
但當(dāng)x∈（0，

1

2

）時(shí)，f'（x）＞0；
當(dāng)x∈（

1

2

，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，
∴當(dāng)b=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上無(wú)極值點(diǎn)．
③當(dāng)b＜

1

2

時(shí)，f'（x）=0有兩個(gè)不同解，x1=

1

2

-

1-2b

2

，x2=

1

2

+

1-2b

2

∴（i）b≤0時(shí)，x1=

1

2

-

1-2b

2

≤0∉（0，+∞），舍去，而x2=

1

2

+

1-2b

2

≥1∈（0，+∞），
此時(shí)f'（x），f（x）隨x在定義域上的變化情況如表：

x	（0，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	減	極小值	增

由此表可知：∵b≤0時(shí)，f（x）有惟一極小值點(diǎn)，x=

1

2

+

1-2b

2

，
（ii）當(dāng)0＜b＜

1

2

時(shí)，0＜x₁＜x₂＜1
此時(shí)，f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

由此表可知：0＜b＜

1

2

時(shí)，f（x）有一個(gè)極大值x1=

1

2

-

1-2b

2

和一個(gè)極小值點(diǎn)x2=

1

2

+

1-2b

2

；
綜上所述：當(dāng)且僅當(dāng)b＜

1

2

時(shí)f（x）有極值點(diǎn)；
當(dāng)b≤0時(shí)，f（x）有惟一最小值點(diǎn)，x=

1

2

+

1-2b

2

；
當(dāng)0＜b＜

1

2

時(shí)，f（x）有一個(gè)極大值點(diǎn)x=

1

2

-

1-2b

2

和一個(gè)極小值點(diǎn)x=

1

2

+

1-2b

2

（3）由（2）可知當(dāng)b=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=（x-1）²-lnx，
此時(shí)f（x）有惟一極小值點(diǎn)x=

1

2

+

1-2b

2

=

1+ 3

2

且x∈(0，

1+ 3

2

)時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在（0，

1+ 3

2

）為減函數(shù)
∵當(dāng)n≥3時(shí)，0＜1＜1+

1

n

≤

4

3

＜

1+ 3

2

，
∴恒有f（1）＞f（1+

1

n

），即恒有0＞

1

n2

-ln(1+

1

n

)
∴當(dāng)n≥3時(shí)恒有l(wèi)n（n+1）-lnn＞

1

n2

成立
令函數(shù)h（x）=（x-1）-lnx（x＞0）則h'（x）=1-

1

x

=

x-1

x

∴x＞1時(shí)，h'（x）＞0，又h（x）在x=1處連續(xù)
∴x∈[1，+∞）時(shí)h（x）為增函數(shù)
∵n≥3時(shí)1＜1+

1

n

∴h（1+

1

n

）＞h（1），即

1

n

-ln(1+

1

n

)＞0
∴l(xiāng)n（n+1）-lnn=ln（1+

1

n

）＜

1

n

綜上述可知n≥3時(shí)，恒有

1

n

＞ln（n+1）-lnn＞

1

n2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和含有字母參數(shù)的函數(shù)極值的討論，屬于難題．