Question

【題目】已知長方形ABCD中，AB＝1，AD＝。現(xiàn)將長方形沿對(duì)角線BD折起，使AC＝a，得到一個(gè)四面體ABCD，如圖所示．

(1)試問：在折疊的過程中，異面直線AB與CD，AD與BC能否垂直？若能垂直，求出相應(yīng)的a值；若不垂直，請(qǐng)說明理由．

(2)當(dāng)四面體ABCD的體積最大時(shí)，求二面角ACDB的余弦值．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

解：(1)若AB⊥CD，因?yàn)锳B⊥AD，AD∩CD＝D，

所以AB⊥平面ACD，所以AB⊥AC.

即AB2＋a2＝BC2，即12＋a2＝()2，所以a＝1。

若AD⊥BC，因?yàn)锳D⊥AB，

所以AD⊥平面ABC，所以AD⊥AC.

即AD2＋a2＝CD2，即()2＋a2＝12，

所以a2＝－1，無解．

故AD⊥BC不成立．

(2)要使四面體ABCD的體積最大，因?yàn)椤鰾CD的面積為定值，

所以只需三棱錐ABCD的高最大即可，此時(shí)平面ABD⊥平面BCD，

過點(diǎn)A作AO⊥BD于點(diǎn)O，

則AO⊥平面BCD，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz(如圖)，

則易知A，C(，，0)，D，

顯然，平面BCD的一個(gè)法向量為＝。

設(shè)平面ACD的法向量為n＝(x，y，z)．

因?yàn)?/span>＝，＝，

所以令y＝，得n＝(1，，2)．

故二面角ACDB的余弦值為|cos〈，n〉|＝＝。